§ 36. Связь между φ и
Пусть
перемещение
параллельно оси x.
В этом случае
где dx — элементарное приращение координаты x. Можем написать
где
Ex
— проекция вектора
на ось x.
Учитывая выражение (35.6), получаем
(36.1)
где
символ частной производной подчеркивает,
что функцию
надо дифференцировать только по x,
считая y
и z
при этом постоянными. Аналогично получаем
(36.2)
(36.3)
Сам вектор
(36.4)
Выражение в скобках есть градиент потенциала φ (grad φ). Следовательно,
(36.5)
— напряженность
поля равна со знаком минус градиенту
потенциала φ этого поля.
Пример 36.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плоскостью σ. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии x от плоскости.
|
Дано:
σ
x
|
Решение
Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом примера 33.1. Можем написать
|
|
φ – ? |
(36.6)
откуда
(36.7)
Подставим выражение (33.5) в соотношение (36.7) и проинтегрируем:
или
(36.8)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при x = 0).
Графически зависимость φ(x) электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости представлена на рис. 36.1.
Рис. 36.1
Пример 36.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра сферы.
|
Дано:
σ
R
r
|
Решение
Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом примера 33.2. Можем написать
|
|
φ – ? |
(36.9)
где
— единичный вектор радиуса-вектора
,
проведенного из центра сферы, помещенного
в начало координат, до интересующей нас
точки поля. Из соотношения (36.9) следует
(36.10)
Так как внутри сферы (r < R) Е = const, согласно соотношению (36.10)
(36.11)
Следовательно, потенциал φ поля во всех точках внутри сферы одинаков.
Определим φ в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R). Подставим выражение (33.9) в соотношение (36.10) и проинтегрируем:
(36.12)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r. На поверхности сферы (r = R), а также во всех точках внутри сферы
(36.13)
Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 36.2.
Рис. 36.2
Пример 36.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра шара.
|
Дано:
ρ
R
r
|
Решение
Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом решения примера 33.3. Можем написать
|
|
φ – ? |
(36.14)
где
— единичный вектор радиуса-вектора
,
проведенного из центра шара, помещенного
в начало координат, до интересующей нас
точки поля. Из соотношения (36.14) следует
(36.15)
Сначала определим φ в точке, находящейся внутри заряженного шара (r < R). Подставим выражение (33.14) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:
откуда
(36.16)
где
— потенциал в центре шара. Следовательно,
потенциал φ поля внутри заряженного
шара убывает с расстоянием r.
Теперь определим φ в точке, находящейся вне заряженного шара (r > R). Подставим выражение (33.15) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:
(36.17)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженного шара убывает с расстоянием r.
На поверхности шара (r = R)
(36.18)
Записав выражение (36.16) для поверхности шара
найдем
потенциал
в центре шара:
(36.19)
откуда получаем окончательное выражение для φ в точке, находящейся в центре шара:
(36.20)
Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженного шара представлена на рис. 36.3.
Рис. 36.3