§ 18. Барометрическая формула

До сих пор мы считали, что молекулы газа равномерно распределены по объему сосуда. Однако это не так. На молекулы газа действуют силы гравитационного притяжения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на землю. С другой стороны, если бы не было сил притяжения Земли, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Совместные действия гравитационного поля Земли и теплового движения молекул приводят к такому состоянию атмосферы, при котором число молекул в единице объема и давление воздуха убывают с возрастанием высоты над земной поверхностью.

Найдем закон изменения давления газа с высотой в однородном гравитационном поле (ускорение свободного падения ). Будем считать, что газ находится в равновесном состоянии при температуре .

Согласно закону гидростатики, запишем выражение для давления газа на высотах и :

откуда

или

(18.1)

где — плотность газа.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева

где — масса газа в объемe V; μ — масса моля газа, следует

(18.2)

Подставляя выражение (18.2) в соотношение (18.1), получаем

или

(18.3)

Проинтегрируем выражение (18.3):

откуда

(18.4)

где — давление газа;

Представим зависимость (18.4) графически для двух газов с разными μ (рис. 18.1).

Рис. 18.1

Из рис. 18.1 видно, что давление газа убывает с высотой быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ). Следовательно, в верхних слоях атмосферы должны преобладать легкие газы.

Выражение (18.4) можно применять и для атмосферного воздуха, считая его газовой смесью с Измеряя давление и воздуха с помощью барометра, можно определить высоту

Поэтому выражение (18.4) называют барометрической формулой. Барометр, специально проградуированный для отсчета высоты над уровнем моря, называют альтиметром. Он широко применяется в авиации, альпинизме и т. д.

Пример 18.1. Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре 0 °С отличаются в раз.

Дано:	Решение .

.

^.

^.

^.

.

Ответ:

§ 19. Распределение Больцмана

Барометрическая формула (18.4) позволяет найти зависимость числа молекул в единице объема газа от высоты над земной поверхностью. По-прежнему будем считать, что газ находится в равновесном состоянии при температуре в однородном гравитационном поле ().

Из уравнения Клапейрона – Менделеева следует

(19.1)

где — число молекул газа в единице объема.

Подставим выражение (19.1) в барометрическую формулу, имеем

(19.2)

где — число молекул в единице объема газа при .

Можем написать

(19.3)

где — масса молекулы; — постоянная Больцмана.

Подставляем формулу (19.3) в соотношение (19.2), получаем

(19.4)

или

(19.5)

где — потенциальная энергия молекулы газа в гравитационном поле Земли.

Следовательно, найденная зависимость (19.4) от переходит в зависимость (19.5) от (рис. 19.1), согласно которой в объеме газа молекул будет больше там, где их потенциальная энергия меньше.

Рис. 19.1

Больцман доказал, что распределение (19.5) справедливо не только для молекул газа в потенциальном гравитационном поле Земли, но и для совокупности любых одинаковых хаотически движущихся частиц в любом потенциальном силовом поле. Поэтому распределение (19.5) называют распределение Больцмана.

Пример 19.1. Пусть η₀ — отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а η — соответствующее отношение на высоте h = 3 км. Найти отношение η/η₀ при Т = 280 К, полагая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от высоты.

Дано:	Решение
η/η0 – ?

Ответ: η/η₀ = 1,39.