1.6. Примеры решения задач

На основе известных кинематических уравнений, выражающих зависимость радиус-вектора или координат движущейся точки от времени, путем дифференцирования можно найти вектор скорости и его компоненты, а также и величину скорости. Двукратным дифференцированием кинематических уравнений мы получим зависимость от времени компонент ускорения. Данные задачи называются прямыми задачами кинематики.

Возможны также обратные задачи: по функциям, выражающим зависимость компонент ускорения, можно найти координаты точки в заданный момент времени. Эти задачи решаются интегрированием: однократное интегрирование дает зависимость от времени компонент скорости, двукратное – зависимость от времени координат. При этом в формулах появляются постоянные интегрирования, которые могут быть определены из так называемых начальных условий. Начальные условия – это параметры движения в некоторый определенный момент времени, например, начальный. Начальные условия должны быть заданы дополнительно, поскольку в противном случае задача становится неопределенной.

Приведем примеры решения прямых и обратных задач кинематики.

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Определите:1) уравнение траектории материальной точки; 2) вектор скорости точки в зависимости от времени; 3) вектор ускорения точки в зависимости от времени; 4) модули скорости и ускорения точки в момент времени .

Решение

Из представленного уравнения вытекают следующие зависимости координат от времени

и .

Исключив из полученной системы уравнений время, найдем уравнение траектории материальной точки

.

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы.

Вектор скорости точки найдем, взяв производную от радиус-вектора по времени

.

Модуль скорости определим через его проекции на координатные оси

.

В момент времени 32,06 м/с.

Вектор ускорения получим, дифференцируя скорость по времени

.

Данный вектор направлен вдоль оси OY, а его величина не зависит от времени и равна 16 м/с².

2. Две материальные точки движутся по одной прямой, совпадающей осью OX. В начальный момент времени первая точка имела координату м, а вторая м. Скорости точек изменяются по законам

и ,

где , . Определить ускорения точек в момент их встречи.

Решение

Условием встречи является равенство координат точек. Поэтому определим интегрированием кинематические уравнения их движения

,

.

Константы С₁ и С₂ определим из начальных условий:

и С₁=0; и С₂=0. Тогда кинематические уравнения примут вид

,

.

Приравняем эти выражения в момент встречи

.

Выполнив преобразования, находим

.

Выбирая положительное значение корня, получим .

Ускорения первой и второй точек находим, взяв производные от скорости по времени

и .

Подставляя в эти уравнения значение времени встречи, получим ответ

, .

3. Тело брошено горизонтально со скоростью м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через с после начала движения.

Решение

Выберем систему координат и покажем траекторию движения тела, его скорость, ускорение и их составляющие в некоторый момент времени t (рис.1.11).

П

Рис.1.11

роекции скорости на координатные оси и ее величина в данный момент времени будут равны

, ,

.

Полное ускорение тела и его нормальная составляющая

, ,

где .

Произведя подстановку, получим окончательно

, R =140 м.

4. Ускорение парашютиста в затяжном прыжке из неподвижного вертолета изменяется по закону

,

где ,. Через какое время после начала прыжка скорость парашютиста станет равной половине максимального значения? Постройте график зависимости скорости от времени

Р

Рис.1.12

ешение

Зависимость скорости от времени парашютиста найдем путем интегрирования

Максимальное значение скорости определится из условия

при , следовательно .

Искомое время найдем из решения уравнения

.

После преобразования, получим

с.

График зависимости скорости от времени представлен на рис.1.12 .

5. Скорость самолета при разгоне на взлетной полосе изменяется по закону

,

где , , - время от начала движения. Определите длину пути при разгоне, если он длился 10 с.

Решение

Длину пути при разгоне самолета определим интегрированием скорости в пределах от нуля до

.

Произведя вычисления, получим

S=1260 м.