9.7. Примеры решения задач
1. Стержень, собственная длина которого
м,
движется в продольном направлении со
скоростью
относительно
-
системы отсчета. При каком значении
длина
стержня в этой системе будет равна
м?
Решение
Сокращение длины стержня относительно неподвижной системы отсчета определяется формулой (9.8). Следовательно, скорость стержня должна быть
.
2. Стержень пролетает с большой скоростью
мимо метки, расположенной в лабораторной
системе отсчета
.
Известно, что время прохождения стержня
мимо метки равно
по часам системы
и
по часам системы
,
связанной со стержнем. Определить
собственную длину стержня.
Решение
Рассмотрим два события – совмещение с
меткой переднего и заднего концов
стержня - в двух системах отсчета. В
системе
эти события происходят в одной точке,
и интервал между ними в соответствии с
(9.14) определяется равенством
.
В системе
расстояние между точками, в которых
происходят эти события, как раз и есть
собственная длина стержня. В этом случае
интервал равен
.
В силу инвариантности интервала
и окончательно
м
3. Две частицы движутся навстречу друг
другу со скоростями
и
по отношению к лабораторной системе
отсчета
.
Найти:
1) скорость сближения этих частиц в этой системе отсчета;
2) их относительную скорость.
Решение
1). Скорость сближения – это скорость, с которой изменяется (уменьшается) расстояние между частицами в данной системе отсчета. В нашем случае она равна сумме скоростей, т.е.
.
Полученный результат
не
противоречит теории относительности,
так как эта величина не представляет
собой реальную скорость распространения
какого-либо физического объекта.
2). Относительная скорость частиц в
теории относительности – это скорость
одной частицы в системе отсчета, где
другая частица покоится. Свяжем, например,
с первой час
Рис.9.5
-систему
(рис.9.5). Тогда относительная скорость
движения частиц будет равна скорости
второй частицы в системе
,
т.е.
,
а скорость движения системы
относительно системы
.
На основании закона сложения скоростей в релятивистской механике, получим
.
Отметим, что относительная скорость движения частиц не может быть больше скорости света.
4. Мю-мезон, движущийся со скоростью
,
пролетел от места своего рождения до
точки распада расстояние
.
Определить собственное время жизни
этого мезона и расстояние, которое он
пролетел с «его точки зрения».
Решение
Рассмотрим два события, рождение и
распад мезона, в двух системах отсчета:
лабораторной системе
и системе
,
связанной с мезоном и движущейся
относительно системы
со скоростью
.
В лабораторной системе
время жизни мезона, с учетом того, что
он пролетел со скоростью
расстояние
,
равно
.
Собственное время жизни мезона, т.е. промежуток времени, измеренный по неподвижным относительно него часам, определится по формуле замедления времени
.
Расстояние, которое пролетел мезон в
-системе
с «его точки зрения», т.е. с точки зрения
наблюдателя, движущегося вместе с
мезоном, равно
.
Проведя вычисления, получим
,
5. Частица массой
,
летящая со скоростью
,
испытывает неупругое соударение с
идентичной покоящейся частицей (рис.9.6).
Найти массу, скорость и кинетическую
энергию частицы, образовавшейся в
результате столкновения.
Решение
В
Рис.9.6
Закон сохранения импульса для данного случая имеет следующий вид
.
В этой формуле
- масса и скорость образовавшейся
частицы.
В соответствии с законом сохранения полной энергии, энергия движущейся и покоящейся частиц до столкновения будет равна энергии образовавшейся частицы, т.е.
.
Решение данной системы уравнений позволяет получить выражение для скорости, образовавшейся частицы
.
Подстановка числовых значений дает
следующий результат
.
Для нахождения соотношения между массами исходной и образовавшейся частицы, воспользуемся закон сохранения импульса.
Имеем
.
Как видим, масса образовавшейся частицы больше, чем сумма масс соударяющихся частиц.
Кинетическая энергия образовавшейся частицы найдется как разность ее полной энергии и энергии покоя, т.е.
.