7. Механика упругих тел

Все реальные тела деформируются. Под действием приложенных сил они меняют свою форму или объем. Такие изменения называются деформациями. Различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические.

Упругими называются деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил. Пластическими деформациями называются такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия приложенных сил.

Ограничимся изучением только упругих деформаций, считая тела идеально упругими. Такая идеализация возможна лишь для очень малых деформаций. Для них существует линейная зависимость между действующими силами и вызывающими ими деформациями, подчиняющимися закону Гука.

Любая сложная деформация твердого тела может быть представлена как результат наложения более простых деформаций. Рассмотрим основные виды деформаций: одноосное растяжение (сжатие); сдвиг; кручение.

7.1. Одноосное растяжение и сжатие

Рис.7.1

Возьмём однородный стержень и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия (рис.7.1). Пусть - длина недеформированного стрежня, а S - его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение  и делается равной . Отношение

, (7.1)

называется относительным удлинением стержня.

В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.

Деформация стержня связана с возникновением упругих сил, с которыми одна часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Такие силы действуют в любом поперечном сечении. Внешняя сила, приложенная к каждой из этих двух частей, уравновешивается упругой силой F_упр, действующей на рассматриваемую часть со стороны другой. Силу, перпендикулярную поперечному сечению стержня и отнесенную к единице его площади, называют нормальным упругим напряжением

. (7.2)

В системе СИ упругое напряжение измеряется в Н/м² .

Опыт показывает, что при малых деформациях, возникающие в теле нормальные упругие напряжения пропорциональны относительной деформации, т.е.

, (7.3)

где Е - постоянная, называемая модулем Юнга и зависящая только от материала стержня и его физического состояния..

Формула (7.3) выражает закон Гука для деформации растяжения и сжатия. Из нее следует, что модуль Юнга равен тому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице. Длина стержня в этом случае увеличилась бы в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако, при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и либо образец разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.

Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие (растяжение)

, (7.4)

где d - поперечный размер образца.

При растяжении  _i < 0, при сжатии  _i>0. Отношение

, (7.5)

называется коэффициентом Пуассона.

Для большинства изотропных материалов, к которым относятся, например, металлы, имеющие поликристаллическую структуру, он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона  полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и .

Деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела.

Приложим к стержню растягивающую силу ƒ(x) и будем непрерывно увеличивать ее от начального значения ƒ=0 до конечного значения ƒ=F. При этом удлинение будет меняться от x = 0 до конечного значения x = l. По закону Гука

. (7.6)

Вся работа, совершаемая при деформации, запасается в виде упругой энергии, поэтому

. (7.7)

Эта энергия распределена по всему объему деформированного тела, что дает основание ввести плотность энергии упругой деформации, т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема стержня,

. (7.8)