3.4.3 Закон Био—Савара—Лапласа. Магнитное поле прямого тока

Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает величину и направление вектора магнитной индукции dB в произвольной точке магнитного поля, создаваемого элементом dl проводника с током. Био и Савар провели в исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как; векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными; элементарными участками токов. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу

dB = μ0 μ [dl r]I//4πr3

(3.101),

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; μ —магнитная проницаемость; μ₀-—магнитная постоянная (μ₀ = 4π_*10^-7 Гн/м), dl —вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника, к точке, магнитная индукция в которой определяется. Модуль вектора dB выражается формулой

dB = (μ0 μ/4π) I sinα dl /r2

(3.102),

где α — угол между векторами dl и r. Соотношение (3.102) носит название закона Био-Савара - Лапласа.

Применим закон Био - Савара - Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рисунок - 3.29). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r₀ от провода. Из рис. рисунка - 3.29 видно, что r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin²α. Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

dB = (μ₀ μ/4π) I R sinα sin²α dα /R² sin²α = (μ₀ μ/4π) I sinα dα /R

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно, B = ∫ dB = (μ₀ μ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ₀ μ/4π) 2I/R. Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = (μ0 μ/4π) 2I/R,

(3.103),

где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.

Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рисунок - 3.30). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка.

Рисунок - 3.29	Рисунок - 3.30

Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара - Лапласа, dB = (μ₀ μ/4π) I/R²dl. Тогда

B = ∫dB = (μ₀ μ/4π) I/R²∫dl = (μ₀ μ/4π) I/R²2πR = μ₀ μI/2R

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна

B = μ0 μI/2R

(3.104).