3.4.4 Сила Лоренца Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Магнитное поле действует на каждый участок проводника с током I длиной dl с силой

dFA = IdlВ sinα.

(3.105).

Если вспомнить, что ток - это направленное движение заряженных частиц, это означает, что магнитное поле действует на движущийся заряд с определенной силой

Fл = q[vB]

(3.106).

Эти силы получили название сил Лоренца. Модуль силы Лоренца мы определим, почленно разделив выражение (11.21) на N:

Fл = qvBsinα,

(3.107),

где α — угол между направлением скорости v движущегося заряда и индукцией В магнитного поля.

Направление силы Лоренца, как и силы Ампера, определяют по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы четыре вытянутых пальца были направлены по движению положительного заряда, а вектор магнитной индукции входила в ладонь, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы Лоренца. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно индукции магнитного поля и направлению скорости движения заряда. Следовательно, сила Лоренца не совершает работы. Под действием силы Лоренца модуль скорости заряда и его кинетическая энергия не изменяются, а изменяется только направление скорости заряда.

Под действием силы Лоренца электрические заряды в магнитном поле движутся по криволинейным траекториям. Рассмотрим наиболее характерные случаи движения заряженных частиц в однородном магнитном поле.

а) Если заряженная частица попадает в магнитное поле под углом α = 0°, т.е.летит вдоль линий индукций поля, то F_л = qvBsma = 0. Такая частица будет продолжать свое движение так, как если бы магнитного поля не было. Траектория частицы будет представлять собой прямую линию.

б)Частица с зарядом q попадает в магнитное поле так, что направление ее скорости v перпендикулярно индукции В магнитного поля (рисунок - 3.34). В таком случае сила Лоренца обеспечивает центростремительное ускорение a = v²/R и частица движется по окружности радиусом R в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля.под действием силы Лоренца: F_n = qvB sinα, учитывая, что α = 90°, запишем уравнение движения такой частицы: т v²/R= qvB. Здесь m — масса частицы, R – радиус окружности по которой движется частица. Откуда можно найти отношение e/m — называют удельным зарядом, который показывает заряд единицы массы частицы.

с) Если заряженная частица влетает со скоростью v₀ в магнитное поле под любым углом α , то данное движение можно представить ее как сложное и разложить ее на две составляющие по направлениям α = 0 и α = 90, и тем самым свести к рассмотренным предыдущим двум случаям: со с скоростями v_┴ — перпендикулярную к В и v_║ —параллельную В (рисунок - 3.35). Модули этих составляющих равны v_┴ = v₀sinα, и v_║ = v₀ cosα . Магнитная сила имеет модуль F = ev₀sinαB, и лежит в плоскости, перпендикулярной к В. Создаваемое этой силой ускорение является для составляющей v_┴ - нормальным.

Рисунок - 3.34	Рисунок - 3.35

Составляющая магнитной силы в направлении В равна нулю, поэтому повлиять на величину v эта сила не может.

Таким образом, движение частицы можно представить как наложение двух движений:

1) перемещения вдоль направления В с постоянной скоростью v = v₀cosa и

2) равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной к вектору В со скоростью v_┴ = v₀sinα. Траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением В (рис. 72.2). Направление, в котором закручивается траектория, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, траектория закручивается против часовой стрелки. Траектория, по которой движется отрицательно заряженная частица, закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на траекторию вдоль направления В; частица при этом летит от нас.

Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна

F = qE + q[vB]

(3.108).

Это обобщенное выражение силы Лоренца при одновременном действии электрического и магнитного полей. Действие электрической слагаемой силы Лоренца сводится к изменению скорости (кинетической энергии) в соответствии c законом сохранения энергии:

qU = mv2/2

(3.109).

Существование силы Лоренца, действующей на электрический заряд, движущийся в магнитном поле, позволяет объяснить следующее явление, которое носит название эффекта Холла. Эффект Холла — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В, перпендикулярное j (рисунок - 3.37). При данном направлении j скорость носителей тока в металле — электронов — направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх Е_В.

Когда напряженность Е_В этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда eЕ_В = e ∆φ/a = evB, или

∆φ = vBa

(3.110),

где а - ширина пластинки, ∆φ - поперечная (холловская) разность потенциалов.

Рисунок - 3.37

Учитывая, что сила тока I = jS = nevS (S - площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, n — концентрация электронов, v — средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

∆φ = Ba/ nead = IB/ ned = RIB/d

(3.111),

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В этой формуле R=1/(en) - постоянная Холла, зависящая от вещества. Постоянная Холла не одинакова для различных металлов и, подобно проводимости, зависит от наличия в металле примесей. Наиболее велика постоянная Холла для теллура, висмута, сурьмы и мышьяка (для висмута она почти в 200 000 раз больше, чем для меди). Примерно для половины металлов постоянная Холла имеет нормальный знак отрицательный, тогда как для других металлов постоянная Холла имеет противоположный знак. Отсюда видно, что знак постоянной К должен зависеть от знака заряда е. Этот факт непонятен с точки зрения приведенной элементарной теории и может быть объяснен лишь на основе квантовой механики.

По измеренному значению постоянной Холла можно:

1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей);

2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках.

Эффект Холла наблюдается только в проводниках с электронной проводимостью. В электролитах с их ионной проводимостью заметный эффект отсутствует. Это объясняется тем, что тяжелые ионы приобретают гораздо меньшие скорости, чем электроны. В полупроводниках (закись меди) постоянная R сильно возрастает с понижением температуры, что соответствует быстрому снижению числа свободных электронов в единице объема с понижением температуры. Знак эффекта Холла у полупроводников позволяет судить, носит ли проводимость полупроводника электронный или «дырочный» характер. Для полупроводников со «смешанной» проводимостью явление носит более сложный характер.