Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Физика Павлодар / Лекции по общей физике.doc
Скачиваний:
383
Добавлен:
12.06.2016
Размер:
3.76 Mб
Скачать

1.1.6 Сложение гармонических колебаний

а) Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой. Прежде чем рассматривать сложение колебательных движений, остановимся на способе представления колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды. Пусть гармоническое колебание можно описать уравнением:

х = A cos (ωt+ φ0)

(1.58).

Проведем прямую линию ОХ, которую условно назовем «опорной», и построим вектор А0, численно равный амплитуде А и направленный из точки О под углом φ к опорной линии (рисунок - 1.20). Если начальная фаза положительна, то угол φ откладывается от опорной линии в сторону, противоположную вращению часовой стрелки; если начальная фаза отрицательна, то угол φ откладывается по часовой стрелке. Проекция вектора А0 на опорную линию равна смещению х0 в момент начала отсчета времени (t =0): х0 = А соsφ1. Будем вращать вектор амплитуды вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, с угловой скоростью ω (против часовой стрелки, если ω>0). За промежуток времени t вектор амплитуды повернется на угол ωt и займет положение, изображенное на рисунке - 1.21 вектором А. Его проекция х на опорную линию равна

x = A cos (ωt +φ1)

(1.59).

За время T, равное периоду колебаний, вектор амплитуды повернется на угол , а проекция В его конца совершит одно полное колебание около положения равновесия О. Следовательно, вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание.

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой. Сложение этих колебаний удобно производить, пользуясь методом векторных диаграмм. Пусть колебания заданы уравнениями: x1 = A1 cost + φ1), x2 = A2cost2). Так как

колебания совершаются вдоль одной прямой, то и результирующие колебания будут происходить вдоль этой же прямой. Отложим из точки O опорной линии под углом φ1 вектор амплитуды А1 и под углом φ2 вектор амплитуды А2 (рисунок - 1.21). Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому угол 21) между ними все время остается неизменным.

Рисунок - 1.20

Рисунок - 1.21

Результирующие колебания могут быть изображены вектором амплитуды А, равным сумме векторов A1 и А2: А = А1 + А2 и вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и векторы А1 и А2.. Результирующие колебания должны быть гармоническими с циклической частотой ω:

х = A cos ((ωt + φ)

(1.60),

где A — амплитуда результирующих колебаний, а φ— их начальная фаза. Из рисунка - 1.21 видно, что

А2 = А12 + A22 + 2А1А2 cos (φ2 - φ1),

(1.61)

а начальная фаза φ определяется из соотношения tg φ = ВС/ОС, или

tg φ = (А1 sin φ1 + А2 sin φ2)/(А1 cos φ1+ А2 cos φ2)

(1.62).

Из выражения для амплитуда следует, что амплитуда А результирующих колебаний зависит от разности начальных фаз 21) складываемых колебаний. Так 21) с течением времени изменяется, то можно получить определенное значение амплитуды А. Косинус любого угла не может быть больше (+1) и меньше (-1). Следовательно, возможные значения А заключены в пределах ±1:

1 + А2)≥А≥(А2 - А1)

(1.63).

Рассмотрим несколько частных случаев. Если амплитуд двух гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, одинаковы, а их частоты мало отличаются друг от друга, то в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Происхождение этого явления легко представить себе из следующих рассуждений. Пусть в начале колебаний совпадают по фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме их амплитуд. Затем второе колебание начинает отставать по фазе от первого и амплитуда результирующего колебания убывает. Когда разность фаз слагаемых колебаний достигнет определенной величины, результирующая амплитуда станет равной разности амплитуд составляющих колебаний, т. е. в рассматриваемом случае будет равна нулю. При дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда, результирующего колебания снова возрастает и, при разности фаз, равной 2π, становится равной сумме амплитуд и т. д. (рисунок - 1.22).

Рисунок - 1.22

Периодические изменения амплитуды от минимального значения до максимального называют биениями. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний. Явление биений часто наблюдается при звуковых и электрических колебаниях. Демонстрировать биения можно, заставив одновременно звучать два камертона, обладающих несколько различными частотами свободных колебаний.

Колебания вида х = A(t) cos [ωt + φ(t)] называют модулированными. Различают амплитудно-модулированные колебания, у которых dA/dt«ωAмакс и φ = const, где Амакс — наибольшее значение амплитуды, и колебания, модулированные по фазе или частоте, у которых А=const и /dt«ω.

Биения представляют собой простейший пример модулированных колебаний, у которых A(t) и φ(t) — периодические функции времени. Важной задачей теории колебаний является гармонический анализ (спектральный анализ), т. е. представление сложных модулированных колебаний в виде ряда простых гармонических колебаний.

В общем виде эта задача была разрешена французским математиком Ж. Фурье, который показал, что любые сложные периодические колебания можно представить в виде ряда простых гармонических колебаний с кратными периодами:

х = f{t) = А0 + А1 sin (ωt + φi) + + А2 sin {2ωt + φ2) + A3 sin (3ωt + φ3) + + An sin (nωt + + φn) + ,

(1.64),

где х = f(t) — функция, описывающая сложное колебание. Число членов в ряду Фурье, вообще говоря, бесконечно велико. Однако возможны такие колебания, для которых ряды Фурье не содержат некоторых членов.

б) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами Т в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат XОY, расположив начало координат в положении равновесия точки (рисунок - 1.23). Обозначим смещение точки С вдоль осей ОХ и OY, соответственно, через х и у. Чтобы найти положение точки в какой-нибудь момент времени t, надо для этого момента времени найти ее смещения, х и у и построить на них прямоугольник (рисунок - 1.23). Конец диагонали прямоугольника определит положение колеблющейся точки в момент времени t, а отрезок ОС — результирующее смещение S. Рассмотрим несколько частных случаев.

а) Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей ОХ и 0Y можно выразить уравнениями х = А1 sin ωt, у = А2 sinωt. Поделив почленно эти равенства, получим уравнение траектории точки С:

x/y = А1/ А2 или y = (А2/ А1) x

(1.65).

Следовательно, в. результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка С1С2 прямой, проходящей через начало координат (рисунок - 1.23). Такие колебания называют линейно поляризованными.

б) Начальная разность фаз равна π. Уравнения колебаний в этом случае имеют вид:

х =А1 sin (ωt+ π) = - A1 cosωt, у =A2 sin ωt

(1.66).

Уравнение траектории точки С

y =( A2/ A1)x

(1.67).

Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка C1C2 прямой, проходящей через начало координат, но лежащей в других квадрантах, чем в первом случае (рисунок - 1.24).

Рисунок - 1.23

Рисунок - 1.24

Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна:

А = √А12 + А22

(1.68).

При начальной разность фаз π/2 получим случай так называемых эллиптически поляризованных колебаний.

Различные кривые, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний, принято называть фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз колебаний. Поэтому в простейших случаях частоты двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний можно сравнивать по форме фигур Лиссажу. На рисунке - 1.25 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1:2 и разности фаз π/2. Уравнения колебаний имеют вид

х = a cos ωt, y = bcos 2ωt

(1.69).

За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На Рисунок - 1.26 для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2.