3.3.2 Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность постоянного тока

Законы Ома позволяют рассчитать несложные линейные цепи, состоящие из источников, проводников и потребителей электрического тока. Расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров, каждый из которых имеет несколько э.д.с, несколько потребителей электрической энергии сложен.

Разветвленные электрические цепи имеют ряд особых точек, называемых узлами электрической цепи, где соединены между собой более двух проводников. Ветвью называют участок цепи, расположенный между двумя соседними ее узлами.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

∑Ik = 0,

(3.78),

где п — число токов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.

∑IkRk = ∑ εk,

(3.79),

где I_k — сила тока на k-м участке; R_k — активное сопротивление яа k-м участке; ε_k,- э. д. с. источников тока на k -м участке, п— число участков, содержащих активное сопротивление; i — число участков, содержащих источники тока.

Рассмотрим особенности расчета разветвленных электрических цепей. В качестве примера используем схему (рисунок - 3.23), в которой два источника тока с ЭДС ε₁ и ε₂ и внутренними сопротивлениями r₁ и r₂, которые сложным образом подключены к внешнему участку цепи с сопротивлениями R₁, R₂, R₃, R₄. Необходимо определить силы токов, текущих в сопротивлениях R₂ и R₃, если ε₁ = 10 и ε₂ = 4 В, а R₁ = R₄ = 2 Ом и R₂ = R₃ = 4 Ом. Сопротивлениями источников тока пренебречь.

Рисунок - 3.23

Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью правил Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Перед составлением уравнений по правилам Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа). Выберем направления токов, как они показаны на рисунке - 3.23, и.условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа следует составлять уравнение на единицу меньше, чем число узлов в схеме. Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Поэтому, в нашем примере составим уравнение только для одного узла, так как составленное для второго узла уравнение будет следствием первого уравнения. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков; ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс, ток, отходящий от узла, — со знаком минус.По первому закону Кирхгофа для узлаВ имеем I₁+ I₂+ I₃- I₄ = 0.

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Независимыми называются контуры, которые имеют в своем составе хотя бы одну ветвь, которая не участвовала ни в одном из ранее использованных контуров. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совладает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус,

б) если э. д. с. повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая э. д. с. входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров ARR.A, AR_XBR_ZA, AR₃BR_tA:

I₁R₁ – I₂R₂=ε1-ε2

I₁R₁ – I₃R₃=ε1

I₃R₃ +I₄R₄=0

Подставив в полученные равенства значения сопротивлений и э. д. с, получим систему уравнений:

I₁ +I₂+ I₃ - I₄ = 0

2I₁ – 4I₂=6

2I₁ – 4I₃ =10

4I₃ +2I₄ =0

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

I₁ +I₂+ I₃ - I₄ = 0

2I₁ – 4I₂+0+0 =6

2I₁ +0 – 4I₃ +0 =10

0+0+4I₃ +2I₄ =0

Искомые значения токов найдем из выражений

I₂ = ∆I₂/∆ и I₃= ∆I₃/∆,

где ∆ — определитель системы уравнений;

,

∆_I2 и ∆_I3 — определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя ∆ столбцами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений.

,

Отсюда получаем: I₂= 0, I₃ = -1А. Знак минус у значения силы тока I₃ свидетельствует о том, что при произвольном выборе направления токов, указанных на рисунке, направление тока 1₃ было указано противоположно ее истинному направлению. На самом деле ток I₃ течет от узла В к узлу А.

Пусть на участке цепи при напряжении U идет ток. По определению электрического напряжения работа тока на участке цепи, совершаемая при перемещении единицы заряда через сечение проводника, равна напряжению на этом участке цепи. Если ток в участке цепи равен I то за время dt пройдет заряд Idt, и поэтому работа электрического тока на этом участке будет

dA = U I dt

(3.80).

Если сопротивление проводника R, то используя закон Ома, получим

dA = I2 R dt

(3.81)..

Из этих формул мощность тока равна

Р = dA / dt. = I U= I2 R= U2/R

(3.82)

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии, dQ = dA. Таким образом, используя полученные выражения, получим

dQ = IU dt = I2Rdt= U2/R dt.

(3.83),

где Q — количество теплоты, выделяющееся в участках цепи за время t. Данное соотношение представляет собой закон Джоуля — Ленца, экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Ленцем. Закон Джоуля—Ленца. Закон Джоуля—Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV=dS dl (ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого R= ρdl/dS. По закону Джоуля— Ленца, за время dt в этом объеме выделится теплота

dQ = I2Rdt= ρdl/dS. (jdS)2 dt = pj2dVdt

(3.84).

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна

w = pj2

(3.85).

Используя дифференциальную форму закона Ома (j = γE) и соотношение ρ=1/γ, получим

w = jE = γE2

(3.86).

Эти формулы являются обобщенным выражением закона Джоуля — Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А. Н. Лодыгиным (1847—1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие электрических муфельных печей, электрической дуги (открыто русским инженером В. В. Петровым (1761 —1834)), контактной электросварки, бытовых электронагревательных приборов и т. д.