3.3 Энергия электростатического поля

3.3.1 Электрический ток. Законы Ома для постоянного тока

Электрическим током (током) называется направленное движение электрических зарядов. Величина электрического тока измеряется силой тока. Сила тока численно равна заряду, проходящему через поперечное сечение проводника за единицу времени. При постоянном токе его величина определяется отношением

I = q/t

(3.54),

где q — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t.

По исторически сложившейся традиции за направление тока принято считать направление движения положительных зарядов. Следовательно, если ток осуществляется перемещением только электронов (как, например, в металлах), то его направление противоположно направлению движения электронов.

Электрический ток количественно характеризуется еще плотностью тока. Плотность тока определяется током, приходящимся на единицу сечения проводника:

j = I/S

(3.55).

Это уравнение определяет модуль вектора плотности тока j. За направление вектора плотности тока j принимается направление движения положительных зарядов в этой точке. При неравномерном распределении тока по сечению провода полученное уравнение определяет среднюю плотность тока. Истинное же значение плотности тока равно

j = dI/dSn

(3.56),

где j — ток через элементарную площадку dS_n, поставленную перпендикулярно направлению тока (рисунок - 3.17). Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j, т.е.

I = ∫ jdS

(3.57).

В этом разделе рассматривается постоянный ток, т. е. такой ток, величина и направление которого со временем не меняются. При наличии постоянного тока величина его через любое сечение неразветвленного проводника одна и та же, т. е. через любое сечение в единицу времени будет протекать одно и то же количество электричества. Это объясняется законом сохранения электрических зарядов. Электрический заряд не пропадает и не возникает, а лишь перемещается в проводнике. Если бы через одно из сечений, ограничивающих некоторый участок, прибывало количество электричества большее или меньшее, чем через другое сечение удаляется, то происходило бы накопление или убыль заряда на этом участке, что вызвало бы изменение потенциалов различных точек проводника, а вместе с тем и величины тока.

Из определения тока следует, что для существования тока необходимо выполнение двух условий: во-первых, наличие электрических зарядов, во-вторых, чтобы они пришли в состояние направленного движения. Например, воздух, в нормальном состоянии не проводник, его атомы электрически нейтральны. Но если воздух подогреть или воздействовать на него каким-либо излучением, произойдет диссоциация атомов на ионы, воздух превращается в потенциальный проводник. Чтобы действительно пошел ток в такой среде необходимо задать разность потенциалов, чтобы придать характеру движения электрических зарядов направленный характер (рисунок - 3.18). Для того чтобы электрический ток был постоянно, необходимо поддерживать напряжение на концах проводника. Это можно осуществить, соединив тело с определенными устройствами, которые называются источниками тока, характеризуемые электродвижущей силой (э.д.с.) - ε.

Рисунок - 3.17	Рисунок - 3.18

Действительно, для сохранения разности потенциалов необходимо пополнять количество электричества той точки, с которого оно уходит, и уменьшать его в равной мере на том месте, на которое оно прибывает. Это можно осуществить, перенося заряды со второго тела вновь на первое и введя, таким образом, круговорот электричества. Для этого контур, по которому идет электрический ток, должен быть замкнутым. На рисунке - 3.18 пунктиром помечены участки, дополняющие путь электрического тока до замкнутого контура.

Однако на этом новом участке зарядам придется перемещаться против электростатических сил, а для этого необходимо привлечь сторонние силы, чуждые по своей природе электростатике. Эти силы должны будут совершать работу по перемещению зарядов и на это потребуется затрата энергии какого-либо вида, которая частично будет превращаться в электростатическую энергию. Величину работы, которую совершают сторонние силы при перемещении электрического заряда, равного единице, называют электродвижущей силой:

ε= Астор/q,

(3.58),

где А_стор, - работа сторонних сил при перемещении заряда q из одной точки с потенциалом φ₁ в другую точку с потенциалом φ₂. Так как разность потенциалов измеряет значение потенциальной энергии, приходящейся на единицу электрического заряда, то э. д. с. определяет величину наибольшей электростатической анергии, которую может приобрести единица количества электричества вследствие работы сторонних сил. Прибор, предназначенный для получения э. д. с, называется источником тока.

В качестве источника э. д. с. может служить любое приспособление, в котором, наряду с электростатическими силами, действуют сторонние силы, перемещающие электрические заряды и совершающие работу за счет энергии, являющейся неэлектрической природы. Типы источников э. д. с. бывают различными, в зависимости от того, какие сторонние силы участвуют в переносе электрических зарядов, какие виды энергии преобразуются в электростатическую энергию и каков механизм переноса зарядов. В электростатической машине имеет место превращение механической энергии в электрическую. В гальванических элементах и аккумуляторах происходит превращение энергии, выделяющейся при химической реакции, в электрическую. В фотоэлементах выделяется электрическая энергия за счет световой энергии и т. д.

При наличии тока электрическое поле внутри проводников не равно нулю: в них и перемещаются заряды под действием кулоновских сил электрического поля. Тогда работа на таком участке характеризуется суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи (рисунок - 3.19):

U12 = Акул/q + Астор/q = (φ1 – φ2) + ε12

(3.59).

Здесь U₁₂ - напряжение на участке 1-2, где включен источник тока с ε₁₂, физическая величина, численно равная работе, совершаемая кулоновскими и сторонними силами для перемещения единичного положительного заряда на данном участке цепи из т очки 1 до точки 2. Напряжение на однородном участке цепи (где нет э.д.с.) измеряется работой тока на данном участке при перемещении единицы заряда через сечение проводника и совпадает по величине с разностью потенциалов на концах этого участка:

U12 = (φ1 – φ2)

(3.60).

Сила тока на участке цепи зависит не только от электродвижущей силы источника тока, но и от среды, где проходит ток. В зависимости от свойств проводимости электрического тока, различают вещества с хорошей проводимостью (проводники) и плохой проводимостью, которые в идеале не проводят ток, это изоляторы (диэлектрики). Есть класс веществ, называемых полупроводниками, проводимость которых меняется в зависимости от внешних условий (температура, схема подключения и т.д.).

Хорошими проводниками являются металлы, поэтому в электротехнике в качестве проводников применяют алюминиевые, медные и т.д. проводники. Механизм получения электрического тока в них реализуется с помощью свободных электронов, которые имеются в металлах в достаточном количестве. Проводящие свойства веществ характеризуются физической величиной, отражающей его способность сопротивляться прохождению тока – сопротивлением - R. Величина, обратная сопротивлению проводника, называется проводимостью.

γ = 1/ R

(3.61).

Исследованием проводников различных размеров и из различных материалов, было установлено, что для однородных цилиндрических и призматических проводников (проволок, лент и т. п.) сопротивление пропорционально их длине l и обратно пропорционально сечению S, зависит от материала проводника:

R = ρl/S

(3.62),

где ρ — коэффициент пропорциональности, называемый удельным сопротивлением вещества, из которого сделан проводник. Из выражения для сопротивления видно, что удельное сопротивление есть сопротивление кубика вещества со сторонами, равными 1м, если ток в нем идет параллельно одному из ребер. Величина обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью вещества.

Сопротивление веществ в сильной степени зависит от примесей. На сопротивление металлов влияет и их обработка. Обычно ковка, прокатка, протягивание и закалка повышают, а отжиг понижает сопротивление. Опытами установлено также, что сопротивление металлов при повышении температуры t увеличивается:

R = R0(1+αt)

(3.63),

где R₀—сопротивление при 0° С, R — его значение при t° С. Зависимость сопротивления от температуры характеризуется температурным коэффициентом сопротивления α данного вещества:

α = (R-R0)/R0t

(3.64).

Температурный коэффициент сопротивления при различных температурах различен. Однако для многих проводников, к которым относятся все металлы, изменение с температурой незначительно, и поэтому, с достаточной точностью можно считать для них одинаковым и равным α = 1/273,3 град^-1. У всех электролитов в отличие ох металлов сопротивление при нагревании всегда уменьшается. Уменьшается с повышением температуры и сопротивление полупроводников.

На основании многочисленных опытов Ом в 1827 г. установил, что при постоянной температуре сила тока на участке цепи пропорционален напряжению на концах проводника и обратно пропорционален сопротивлению проводника (рисунок - 3.20).

I = U/R

(3.65).

Данное утверждение носит закона Ома для однородного участка цепи.

Рисунок - 3.19	Рисунок - 3.20

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставим в закон Ома вместо сопротивления удельную электрическую проводимость вещества проводника γ. Одновременно учтем, что U/1=Е — напряженность электрического поля в проводнике, I/S = j — плотность тока, тогда закон Ома для участка цепи можно записать в виде

j=γE

(3.66).

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают. Поэтому формулу можно записать в векторном виде

j=γE

(3.67).

Это соотношение выражает закон Ома в дифференциальной форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Оно справедливо и для переменных полей.

Полная электрическая цепь состоит из двух частей: внешней и внутренней. Внешнюю часть цепи составляют различные потребители тока и подводящие провода, а внутреннюю — источники тока. Рассмотрим замкнутую цепь постоянного тока (рисунок - 3.21) состоящую из источника тока с ЭДС ε и сопротивлением r, а также реостата с сопротивлением R. Сопротивление r называют внутренним, а сопротивление R — внешним. Силу тока в цепи измеряют амперметром А, а напряжение на полюсах источника тока — вольтметром V. В гальваническом элементе энергия химической реакции превращается в энергию электрического тока.

Рисунок - 3.21

Мерой такого превращения является работа сторонних сил F_ст = εq. На участках цепи с сопротивлением R и r энергия электрического тока превращается во внутреннюю энергию, при этом выделяется количество теплоты, определяемое законом Джоуля — Ленца: Q₁ = I²Rt и Q₂ = I²rt. Согласно закону сохранения энергии,

Аст = Q1 + Q2.

Подставив выражения для А_ст, Q₁ и Q₂, и учитывая, что ε=IR + Ir, где 1R — падение напряжения во внешней части цепи, Ir — падение напряжения внутри источника тока, получим из последнего соотношения

I = ε/(R +r),

(3.68),

где (R + r) — есть полное сопротивление цепи. Эта формула выражают закон Ома для замкнутой цепи постоянного тока. Он утверждает: в замкнутой цепи постоянною тока сумма падений напряжений во внешней и внутренней частях цепи есть величина постоянная, равная ε - ЭДС источника тока. Сила тока в такой замкнутой цепи пропорциональна ЭДС источника тока и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.

Рассмотрим электрическую цепь на участке 1-2, где действует э.д.с., обозначим ее ε₁₂, а приложенную на концах участка разность потенциалов – через (φ₁ – φ₂). Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1—2, то работа А₁₂ всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда q на участке 1—2, равна А₁₂ = q ε₁₂ + q(φ₁- φ₂).

Э.д.с. ε₁₂, как и сила тока I— величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком. в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1—2), то ε₁₂>0. Если э.д.с. препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε₁₂<0.

За время t в проводнике выделяется теплота

Q = I 2Rt = IR(It) = IRq

(3.69).

Сравнивая два последних соотношения, получим IR = (φ₁- φ₂) + ε₁₂, откуда

I = (φ1 - φ2 + ε12) / R

(3.70).

Это выражение представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который является обобщенным законом Ома.

Действительно, из этого закона можно вывести ранее полученные законы Ома - для участка цепи и для полной замкнутой цепи. Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (ε₁₂ = 0), то приходим к закону Ома для однородного участка цепи:

I = (φ1 - φ2) / R = U/R

(3.71).

Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 совпадают: φ₁=φ₂. Тогда получаем закон Ома для цепи, содержащей только э.д.с.:

I = ε/R,

(3.72)

где ε — э.д.с, действующая в цепи, R — суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае R = r+Ri, где r — внутреннее сопротивление источника э.д.с, Ri — сопротивление внешней цепи. Поэтому закон Ома для полной замкнутой цепи будет иметь вид

I = ε/(R +r)

(3.73).

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), то из закона Ома получим, что ε₁₂, == = (φ₁- φ₂), т. е. э.д.с, действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, чтобы найти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.

Зная законы Ома можно изменять параметры электрической цепи, например, повлиять на величину сопротивления, соединяя их различным образом. Пусть два проводника с сопротивлениями R₁ и R₂ соединены последовательно и включены в цепь (рисунок - 3.22,а). Величина тока в обоих проводниках одинакова. Однако напряжения на концах каждого из проводников будут различны. На основании закона Ома имеем: U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂. Общее напряжение на двух последовательно соединенных проводниках будет равно U = U₁ + U₂ или IR = IR₁ + IR₂ = I(R₁₊ R₂). Учитывая, что силы токов при таком соединении одинаковы на протяжении всего участка (I₁ =I₂= I), получим

R =R1 + R2

(3.74).

Данный вывод имеет место для любого количества проводников, поэтому

R =R1 + R2 + R3 + + Rn

(3.75).

Отсюда следует, что при последовательном соединении проводников их сопротивления складываются.

Рассмотрим теперь параллельное соединение двух проводников (рисунок - 3.22,б). При таком соединении напряжение на каждом сопротивлении и на всем участке равны друг другу: U = U₁ = U₂.

а)	б)
Рисунок - 3.22

Признаком параллельного соединения является разветвление тока. В данном примере электрический ток I, входя в группу проводников R₁ и R₂, разветвляется на два тока I₁и I₂. Из закона сохранения зарядов следует, что ток I равен сумме токов I₁и I₂: I =I₁ + I₂. Из закона Ома найдем силы токов: I = U/R, I₁ = U/R_l, I₂ = U/R₂. После подстановки в полученное для параллельного соединения соотношение токов, находим 1/R = 1/R_l, +1/R₂. После преобразования данная формула становится удобной для расчетов

R = R1 R2/(R1+ R2)

(3.76).

Если параллельно соединены не два, а n проводников, то подобным образом можно получить соотношение

1/R = 1/Rl, +1/R2,+ +1/Rn,

(3.77).

Таким образом, при нахождении общего сопротивления при параллельном соединении складываются величины обратные включенным сопротивлениям, в результате общее сопротивление уменьшается.