1.1.2 Скорость и ускорение произвольно движущейся точки

Траектория и перемещение являются лишь чисто геометрическими характеристиками движения. Два различных движения, для которых одно и то же перемещение ∆r совершилось за разные промежутки времени, геометрически одинаковы, но кинематически совершенно различны. Это различие характеризуется быстротой изменения положения точки в пространстве, определяемой отношением

∆r/∆t = vср

(1.4)

Вектор v_cp называется средней скоростью движения точки за время ∆t. Его численное значение |v_cp| = | ∆r|/∆t есть скорость такого равномерного и прямолинейного движения, при котором точка М перешла бы из положения М₁ в положение М₂ за тот же промежуток времени ∆t, за который произошло ее истинное криволинейное движение по дуге M₁M₂ (рисунок - 1.3). Вектор v_cp как и вектор ∆r, направлен по секущей M₁M_2.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (∆t →0), мы получим вектор истинной, или мгновенной скорости в точке M₁:

vмгн= lim vcp= lim|∆r|/∆t = dr/dt.

(1.5)

Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории (рисунок - 1.3). Тогда согласно (1.3)

| vмгн| = v = lim|∆S|/∆t = dS/dt

(1.6)

т. е. величина скорости v_мгн численно равна пределу отношения длины пути к промежутку времени, в течение которого это движение произошло. Математически этот предел приводит к понятию производной: мгновенная скорость вычисляется как первая производная от уравнения движения тела.

При прямолинейном движении быстрота изменения величины скорости v характеризуется ускорением а, которая характеризует те изменения скорости, которые произойдут за единицу времени.

На рисунке - 1.3 изображен отрезок траектории между двумя соседними бесконечно близкими точками М₁ и М₂. Скорости в этих точках v₁ и v₂ направлены по касательным к траектории и отличаются друг от друга по величине и по направлению. Перенесем вектор v₂ параллельно самому себе в точку М₁ как это показано на рисунке 1.4.

Рисунок - 1.3	Рисунок - 1.4

Соединим теперь конец вектора v₁ с концом перенесенного вектора v₂ вектором ∆v. Из чертежа видно, что ∆v = v₂ —v_l, т. е. вектор ∆v есть геометрическое приращение вектора v за время ∆t. Отношение

∆v/∆t =aср

(1.7)

является вектором среднего ускорения за время ∆t, а предел этого отношения будет вектором истинного, или мгновенного ускорения

а = im аcp= lim ∆v/∆t = dv/dt

(1.8).

Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью v₀. Одну из этих систем, обозначенную на рисунке 1.6 буквой К будем условно считать неподвижной. Тогда вторая система К' будет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси х, у, z системы К и оси х' , у', z' системы К' так, чтобы оси х и х' совпадали, а оси у н у', а также z и z' были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x, у, z некоторой точки Р в системе К и координатами х', у', z той же точки в системе К'. Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рисунка - 1.6 x=x'+v₀ t. Кроме того, очевидно, что у=у' и z=z'.

Рисунок - 1.5	Рисунок - 1.6

Добавив к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым образом, т. е. что t=t', получим совокупность четырех уравнений, называемых преобразованиями Галилея.

x = x' + v0t', y = y', z = z',

(1.9)

t = t'

(1.10).

В рамках ньютоновской механики эти формулы оказываются справедливыми с большой степенью точности. Продифференцировав соотношения (1.9) по времени, найдем связь между скоростями точки Р по отношению к системам отсчета К и К';

x = x' + v0 у = у' z = z'

или или или

vx = v'x + v0, vy = v'y vz = v'z.

(1.11).

Эти три скалярных соотношения эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости v по отношению к системе К и вектором скорости v' по отношению к системе К':

v = v' + v0

(1.12).

Полученные Галилеем преобразования дают правило сложения скоростей в классической механике. Следует иметь в виду, что данное соотношение остается справедливым при произвольном выборе взаимных направлений координатных осей систем К и К'. Таким образом, получается следующий результат: параметры, определяющие изменения состояния движения механических систем, инвариантны относительно преобразования Галилея. Это положение называется принципом относительности Галилея.

В общем случае произвольного криволинейного движения вектор скорости v может меняться и по величине и по направлению. Поэтому, будет целесообразно характеризовать каждый аспект в изменении скорости соответствующим ускорением:

- характеризующую быстроту изменения скорости по величине;

- характеризующую быстроту изменения ее по направлению.

Изменение направления вектора скорости за время dt характеризует вектор а_n, который называется нормальным ускорением. Из чертежа (рисунок 1.7) видно, что оно направлено по радиусу кривизны (R) сторону вогнутости кривой и вычисляется по формуле:

аn = v2/R

(1.13).

Изменение величины скорости по времени характеризует ускорение а_τ которое называется касательным, или тангенциальным ускорением, вычисляется по формуле:

аτ = dv/dt

(1.14).

Из рисунка следует, что вектора а_n и а_τ в каждый момент времени всегда перпендикулярны в каждой точке траектории, поэтому полное ускорение а в любой момент времени находится по теореме Пифагора:

а = √ аn2+ аτ2

(1.15).

В зависимости от вида траектории можно различать прямолинейное движение и криволинейное движение.