Глава 47 Системы счисления

Глава 47

Системы счисления

Двенадцать – по-русски

Twelve – по-английски

12 – в десятичной системе

111111111111 – в единичной системе

1100 – в двоичной системе

0Сh – в шестнадцатеричной системе

$0С – в шестнадцатеричной системе на Паскале

Рис. 103 – Способы изображения числа 12

Итак, что ни скажи, но на картинке всё те же двенадцать попугаев. Это число изображено рядом в нескольких системах счисления: единичной, десятичной, двоичной и шестнадцатеричной. И, хотя изображения не схожи меж собой, все они относятся к двенадцати попугаям. Стало быть, число и его изображение — не одно и то же!

Мы изображаем числа строками символов — цифрами. Поручив процедуре Writeln напечатать число, мы не задумываемся, как она делает это, — число превращается в строку цифр неведомым нам образом. Допустим на минуту, что процедура Writeln этого не умеет, и тогда явится потребность сделать такое преобразование самим. Итак, ставим себе первую задачу: преобразовать число в строку, то есть получить символьное изображение числа.

Справившись с первой задачей, займемся обратным преобразованием — строки в число. Это умеет процедура Readln, но мы пока забудем об этом. Дело в том, что упомянутые стандартные процедуры понимают лишь десятичную систему счисления. Мы же добиваемся большего, — мы хотим изображать числа в любой системе счисления (двоичной, троичной и так далее). А начнем, разумеется, с родной десятичной системы.

359

Глава 47

Системы счисления

Десятичная система

Десятичную систему знает всякий: здесь крайняя правая цифра числа означает единицы, а последующие — десятки, сотни и так далее. Например, число 2048 представляется так.

2048 = 2 • 1000 + 0 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1

Или так.

2048 = 2 • 103 + 0 • 102 + 4 • 101 + 8 • 100

То есть, позиция цифры в числе равна показателю степени при десятке, если счет позиций вести справа налево, начиная с нуля.

Повторю нашу цель: мы хотим превратить нечто цельное — число — в цепочку символов. Как это сделать? Есть мысли? Я предлагаю «откалывать» от числа цифру за цифрой, превращая их в символы и складывая в строку. Из опыта известно, что легче всего «отгрызть» от числа младшую цифру, вычисляя остаток от деления на десять, вот так.

младшая_цифра := число MOD 10

Тогда старшая часть числа отделится от младшей цифры делением на десять. При этом остаток будет отброшен, но он теперь и не нужен, поскольку сохранен в младшей цифре.

старшая_часть := число DIV 10

Так прояснилась схема дробления числа, показанная на рис. 104.

360

Глава 47

Системы счисления

Рис. 104 – Выделение отдельных цифр десятичного числа

Число дробится, пока в старшей части не окажется ноль. Осталось лишь организовать цикл, условием выхода из которого будет равенство нулю старшей части. Эта несложная программа перед вами.

Теперь, когда мы смогли превратить число в строку, займемся обратным превращением — соберем число из символов строки. Откуда подступиться к этой сборке? Запишем разложение числа с помощью скобок следующим образом:

2048 = 2 • 1000 + 0 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1 = (((0 •10+2) •10+0) •10+4) •10+8

Правила действий со скобками требуют начать вычисление с внутренних, самых глубоких скобок. Следовательно, сборку числа из отдельных цифр начнем со старших разрядов, последовательно умножая накопленную сумму на 10. Внутри

361

Глава 47

Системы счисления

самых глубоких скобок добавлено слагаемое 0•10. Не влияя на результат вычислений, оно придает общность алгоритму сборки, который показан на рис. 105.

2

+0

• 10

• 10

+8

2 0 4

Результат N=2048

• 10

Рис. 105 – Сборка числа из строки десятичных цифр

Например, для числа 2048 сборка пойдет в таком порядке:

N = 0 - исходное значение

N = 0 • 10 + 2 = 2

N = 2 • 10 + 0 = 20

N = 20 • 10 + 4 = 204

N = 204 • 10 + 8 = 2048

А вот программа, работающая по этому алгоритму.

362