Глава 35 Множества
Смалых лет я завидовал обладателям волшебных палочек, ковров-самолетов
ипрочих волшебных штучек! Смел ли я мечтать о таких игрушках? И вот познакомился с Паскалем... Мы приступаем к мощнейшим средствам этого языка
— сложным типам данных. Овладейте ими, и мудреные задачи разрешатся сказочно просто!
В директорском кабинете
Редкий смельчак сунется в директорский кабинет. Но чтобы вникнуть в предстоящую задачу, нам надо тайно проникнуть к директору школы. Вот вам шапка-невидимка (ещё одна волшебная штуковина), вдохните глубже и ступайте на цыпочках за мной.
Мы находим усталого Семена Семеновича перед кипой исчерканных листков с фамилиями учеников. Чем озабочен директор? Сейчас объясню. В начале учебного года Семен Семенович распорядился, чтобы все ученики вступили в какой-либо кружок или спортивную секцию — по желанию. А теперь, спустя пару месяцев, он проверяет исполнение приказа. Директор намерен наказать тех, кто не исполнил распоряжения, и поощрить состоящих в нескольких кружках или секциях. Но, промучившись неделю со списками кружков, он готов уж отказаться от своей затеи, — задача не поместилась в директорской голове. Судите сами: ведь в школе двести пятьдесят учеников! Спасайте Семена Семеновича!
Первым делом, первым делом – оцифровка
Директорскую задачу поручим компьютеру, а тому сподручней орудовать с числами. Заменим фамилии учеников числами, назначив каждому ученику уникальный, несовпадающий с другими, номер. Переход от фамилий к номерам и обратно — простая задачка, её мы оставим Семену Семеновичу. Таким образом, наш входной файл со списками учеников будет содержать по одной строке для каждого кружка, где перечисляются через пробел номера учеников, состоящих в этом кружке. Вот пример входного файла для трех кружков.
2 11 4 13
9 17 12 11 3 5 18
14 2 13 15 20
Здесь в первый кружок записались 4 школьника, во второй — 7, а в третий — 5 учеников. Как видите, их номера перечислены в произвольном порядке, что затрудняет ручную обработку таких списков. От компьютера требуется выявить номера учеников (от 1 до 250), которых нет в таком файле. Хочется найти простое решение, а оно возможно лишь с применением нового для нас типа данных —
множества.
248
Глава 35
Множества
Множества глазами математика
Слово «множество» намекает на большое количество чего-либо. Чего именно? А всё равно! Множества придумали математики, а им безразлично, что считать. Так подать сюда математика, и пусть ответит за всех! Скоро явился математик, взял два кружочка — черный и белый — и, протерев свои толстые очки, стал объяснять. Вот суть его речи.
Множество точек черного |
Множество точек белого |
круга B (Black) |
круга W (White) |
B W
Рис. 80 – Множества точек черного (B) и белого (W) кругов
Вы полагаете, что это кружочки? Нет, друзья, это два множества точек, — одно принадлежит черному кругу, другое — белому. Обозначим первое из них латинской буквой B (от Black — «черный»), а второе буквой W (от White — «белый»). Итак, черные и белые точки этих кружков назовём элементами множеств. Сколько там этих точек? Доказано, что бесконечно много, но к свойствам множеств это не имеет отношения. Что же это за свойства?
Добавление к множеству существующих элементов
Покройте черный круг таким же или меньшим черным кругом, или почеркайте его углем, — заметите разницу? Если на белый круг наложить такой же, или почеркать его мелом, — тоже не увидите изменений. Значит, множество не изменится при добавлении к нему элементов, уже входящих в это множество. На языке математики это свойство выразится так:
B + B = B
или так:
W + W + W = W
Не правда ли, странная арифметика?
Объединение множеств
Продолжим наши мысленные опыты и перекрасим оба круга в серый цвет. Будем считать их теперь одной фигурой, разорванной на части.
249
Глава 35
Множества
Объединение
непересекающихся множеств G (Gray)
G =GB=+BW+ W
G G
Рис. 81 – Объединение непересекающихся множеств G = B + W
Так мы получили новое множество, представляющее сумму или объединение двух предыдущих. Обозначим это новое множество буквой G (от Gray — «серый») и выразим то, что сделали, формулой:
G = B + W
Очевидно, что число точек во вновь образованном множестве равно их сумме в двух исходных. Пока в этом нет ничего интересного, — ведь исходные множества B и W, как говорят математики, не пересекаются. Сблизим круги так, чтобы добиться их частичного перекрытия (рис. 82).
G
Объединение пересекающихся множеств
G < B + W
Рис. 82 – Объединение пересекающихся множеств G < B + W
Теперь количество точек в объединенном множестве будет меньше, чем в двух исходных по отдельности:
G < B + W
В общем случае при объединении множеств (как пересекающихся, так и не пересекающихся) соблюдается правило:
G ≤ B + W
Пересечение множеств
Иногда математиков (и не только их) интересует область пересечения множеств, отметим её серым цветом (рис. 83).
250
Глава 35
Множества
Пересечение множеств
G = B * W
B G W
Рис. 83 – Пересечение множеств G = B * W
Операцию пересечения множеств обозначают знаком умножения:
G = B • W
Количество точек в пересечении, как понимаете, не может быть больше, чем в любом из исходных множеств B и W. Для этого случая справедливо утверждение: пересечение множеств не больше любого из них:
B • W ≤ B и B • W ≤ W
Вычитание множеств
О солнечных и лунных затмениях слышали все, а кто-то и наблюдал их. Для математика это зримые примеры вычитания множеств; взгляните на рис. 84 — чем не затмения? Серую область можно трактовать как результат вычитания одного круга из другого. На левом рисунке белый круг «отгрыз» часть черного, превратив его в серую область, а на правом — наоборот. Подобающие этим случаям формулы будут таковы:
G = B — W или G = W — B
Разность
G = B – W Разность
G = W – B
G W B G
Рис. 84 – Вычитание множеств
А если вычитаемый круг окажется больше того, из которого вычитают, и полностью поглотит его? В алгебре разность получится отрицательной, а здесь? Ничего подобного! При вычитании большего множества из меньшего или равного
251