Глава 46 Огромные числа

Глава 46

Огромные числа

Перенос

1 0 1

Первое слагаемое

7 0 7

Второе слагаемое

+

3 4 5

Сумма

Рис. 102 – Пример сложения в столбик

Итак, сложение чисел начинаем с младшего, то есть крайнего правого разряда. Если сумма двух цифр превысит девять, то в разряд результата записываем остаток от деления этой суммы на 10 (то есть цифры от 0 до 9), а к следующему разряду добавляем перенос.

Если обозначить складываемые цифры буквами A и B, то алгоритм сложения «в столбик» для одного разряда с учетом предыдущего переноса запишется так.

цифра := (A + B + перенос) mod 10

перенос := (A + B + перенос) div 10

Напомню, что операция MOD вычисляет остаток от деления одного целого числа на другое, а операция DIV — частное с отбрасыванием остатка. Перед сложением самого младшего разряда перенос берётся равным нулю. Обратите внимание, что условный оператор здесь излишен.

Великая стройка

Уловив основную идею — действия «в столбик», — программисты задумались над хранением цифр огромного числа. Они рассмотрели два равно подходящих средства: либо массив байтов, каждый из которых будет содержать числа от 0 до 9, либо массив символов «0»…«9». Ученые остановились на символах, но от строки отказались, поскольку строка вмещает лишь 255 символов,

аим требовалось больше.

Витоге объявление сверхбольшого числа получилось таким, как показано в программе P_46_1, — она была написана для отладки процедуры распечатки сверхбольшого числа.

351

Глава 46

Огромные числа

{P_46_1 – Распечатка сверхбольших чисел }

{объявления для сверхбольшого числа } const CSize = 500; { размер массива для цифр } type TBigNumber = array [1..CSize] of char;

var BN : TBigNumber; { очень большое число! } { Процедура распечатки сверхбольшого числа

Младшие цифры числа располагаются в младших элементах массива.

Но распечатывать надо, начиная со старших цифр.

Поэтому обработку массива ведем от конца к началу.

При этом старшие позиции, заполненные пробелами, не печатаем.} procedure WriteBigNumber(var F: text; const aNum: TBigNumber);

var i : integer; begin

i:= SizeOf(aNum); { печать начинаем со старших цифр }

{Пока встречаются незначащие цифры, пропускаем их } while (i>0) and not (aNum[i] in ['1'..'9']) do Dec(i);

{Если весь массив заполнен пробелами, то печатаем ноль } if i=0 then Write(F, '0');

{Теперь печатаем оставшиеся цифры } while i>0 do begin

Write(F, aNum[i]); Dec(i);

end;

{Добавляем ещё одну пустую строчку для удобства созерцания } Writeln(F); Writeln(F);

{ заполняем случайными цифрами }

for i:=1 to CSize-1 do BN[i]:= Char(Random(100) mod 10 + Ord('0')); WriteBigNumber(Output, BN);

Readln;

end.

Итак, тип данных TBigNumber — это сверхбольшое число в виде массива из 500 цифр. Процедура WriteBigNumber — печать сверхбольшого числа — выполняет то, о чем говорит её название. Напомню, что примененная здесь процедура Dec(i) выполняет быстрое вычитание единицы.

352

Глава 46

Огромные числа

В главной программе вы найдете процедуру FillChar — «заполнить символом». Для заполнения массива можно организовать цикл, но процедура FillChar делает это проще и быстрее, она объявлена в Паскале так.

procedure FillChar(var X; Count: Integer; Value: Byte);

Обратите внимание, что тип первого параметра X не указан, что крайне редко для Паскаля! По сути это ссылка на переменную любого типа. Второй параметр — Count — задает количество байтов, помещаемых в переменную X. Обычно значение Count совпадает с размером этой переменной и задается равным SizeOf(X). И, наконец, третий параметр Value — «значение», тоже не совсем обычен. Его тип объявлен как байт (то есть число), но в действительности может принимать любой однобайтовый тип данных, например, символ или булево значение. Вот несколько примеров.

Согласитесь, нелегко отказаться от применения столь удобной процедуры.

И последнее. В нашу процедуру WriteBigNumber передается ссылка на выходной файл, что придает ей универсальность. Вызывая её из главной программы, мы передаём туда файловую переменную Output, — это файл, связанный с экраном. Напомню, что файл Output не требует ни объявления, ни открытия, ни закрытия — он встроен в язык готовеньким. Существует и встроенный файл по имени Input — он служит для ввода данных с клавиатуры.

Длинная арифметика

Итак, испытав рассмотренную нами программу, королевские программисты сделали первый шаг к своей цели — освоили распечатку сверхбольших чисел. Теперь предстояло написать процедуру для сложения таких чисел, ей дали имя AddNumbers — «сложить числа». Она принимает два параметра — это ссылки на сверхбольшие числа, то есть на массивы. Работа процедуры основана на формулах сложения в столбик, причем младшей цифрой числа был выбран первый элемент массива.

Поскольку массив содержит символы ’0’…’9’, а не числа 0…9, при сложении символы преобразуем в числа и обратно (ведь символы складывать нельзя). Эти простые превращения выполняем по формулам.

353

Глава 46

Огромные числа

цифра := Ord (символ_цифры) – Ord (’0’)

символ_цифры := Char (Ord (’0’) + цифра)

Вот эта чудесная программа целиком.

{ P_46_2 – Сложение сверхбольших чисел }

const CSize = 500; { размер массива }

{ объявление типа для сверхбольшого числа }

type

TBigNumber = array [1..CSize] of char;

{ Процедура распечатки сверхбольшого числа }

procedure WriteBigNumber(var F: text; const aNum: TBigNumber); var i : integer;

begin i:=CSize;

while (i>0) and not (aNum[i] in ['1'..'9']) do Dec(i); if i=0 then Write(F, '0');

while i>0 do begin Write(F, aNum[i]); Dec(i);

end;

Writeln(F); Writeln(F); end;

{Процедура сложения сверхбольших чисел в столбик.

Результат помещается в первое число, что равносильно оператору сложения aNum1 := aNum1 + aNum2 }

procedure AddNumbers(var aNum1, aNum2 : TBigNumber);

354

{ Если было переполнение, то за последней цифрой помещаем единицу } if ovr<>0 then aNum1[j+1]:='1';

end.

Вы заметили, что количество сложений в цикле на единицу меньше размера массива? — одно место в массиве припасено на случай переноса из старшего разряда. Результат работы программы на моем компьютере таков.

355