1. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора

Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому  каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y Y, называетсяоператором, действующим в линейных пространствах X , Y. Результат  действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или  y = A(x).  Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называютобразомэлемента x; элемент xпрообразомэлемента y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определенияоператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения  оператора A, называют образомоператора и обозначают Im(A). Если y = A x  , то x D(A), y Im(A) .

Оператор A, действующий в линейных пространствах X , Y называется линейным оператором, если

  и для любых и для любого числа α. Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пр-ве X.Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n  и пусть e₁,  e₂, ..., e_n- базис в X. Обозначим через A e₁= (a₁₁,...,a_n1), ... , A e_n= (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁,  e₂, ..., e_n.

Матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называетсяматрицей линейного операторав заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁, ... , e_n}  к базису e' = {e'₁, ... , e'_n} . Связь между матрицей A_eоператора A в базисе e  и матрицей A_e'этого оператора в базисе e' задается формулой

Здесь  -  матрица перехода от базиса e к базису  e' и обратная к ней.

Опр 2: Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=х, называется собственным вектором преобразования A. Число называется собственным значением. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=х, где A – матрица преобразования, x – координатный столбец. 

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

1. Найти собственные значения матрицы:

• записать характеристическое уравнение: det(A-Е)=0;      

• найти его корни  _j, j=1,...,n и их кратности.