3. Трансзвуковые течения. Уравнение Эйлера–Трикоми. Особенности сверхзвукового обтекания тел

Трансзвуковое течение газа – течение около звуковой скорости.

Стационарные течения при переходе через звуковую область и обратно называются трансзвуковыми.

, а- местная скорость звука,- критическая скорость звука.

Получим интеграл Бернули для трансзвуковых течений:

Разделив на а (), получим:- интеграл Бернули для трансзвуковых течений.

Рассмотрим уравнение Чаплыгина.

Для трансзвуковых течений можно некоторые члены оценить:

Последним членом пренебрегаем по сравнению со вторым, который является очень большим.

Тогда

Из интеграла Бернули

Получим следующее уравнение

Введем переменную и перейдем к переменным. Тогда

Получим - уравнение Эйлера-Трикоми

дозвуковое течение,звуковая область

сверхзвуковое течение

Билет 50

1. Численное решение оду. Метод Рунге- Кутта

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) и начальное условие (2)

Здесь – непрерывно дифференцируемая функция

Предположим, что решение задачи (1),(2) существует и единственно, и обладает необходимыми условиями гладкости. Выберем равноотстоящую сетку:

Связь между двумя соседними значениями функции дает следующее очевидное равенство:(3). Перепишем формулу (3) в соответствующем виде:

Обозначим и, учитывая(1), используя замену последнее равенство можно переписать в виде:(4)

Введем три набора параметров:

С помощью параметров исоставим величины:

Если параметры ивыбраны, то значениявычисляются последовательно.

С помощью параметров нам удастся создать такую комбинацию величин, которая будет являться квадратурной суммой и позволит найти приближенное значение интеграла(4):(5).

Величины представляют собой погрешность приближенного равенства(5).

Запишем разложение в ряд Маклорена:(6)

Если удастся выбрать так, чтоато погрешность в формуле(5) будет величиной порядка

1. (7)

порядок или степень точности данного метода типа Рунге-Кутта. Для построения по методу Рунге-Кутта при данном одношаговых правил возможно более высокого порядка точностивыражают величины

выбираются исходя из требования, чтобы разложение (8) и разложение линейной комбинации совпадали длядо членов с возможно более высокими степенями

2. Методы четвертого порядка точности.

2. Устойчивость равновесия механической системы. Теорема Дирихле

Положение равновесия (i=1,N) наз-ся устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое, что для всехt>0, при

Т-ма лагранжа-дирихле. Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия иммет изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво по ляпунову

3. Свойство упругого равновесия изотропного тела при отсутствии массовых сил

X=Y=Z=0, , где- компоненты вектора напряжений, действующих на площадках с нормалями параллельными направлениям в нижнем индексе.Так как- гармоническая функция объемное расширение

Запишем тождества Бельтрами при X=Y=Z=0

- Применяя оператор Лапласа к этим уравнениям, получим

Первый инвариант напряженного состояния при отсутствии сил трения есть гармоническая функция, а компоненты напряжения – бигармонич. функции.

-Из закона Гука(и т.д. ) после применения_{(бигармонического оператора или «двойного Лапласиана»)} получим

При отсутствии объемных сил компоненты тензора деф. являются бигармоничными функциями.

-Из уравнений упругого равновесия (t=0) в перемещениях при X=Y=Z=0

Применим оператор Лапласа

При этих предположениях компоненты перемещений являются бигармоническими функциями.

Если область D – связная (существует такая точка O в D, что любая другая может быть соединена лучем с точкой O, целиком лежащим в D), то задача определения бигармонической функции сводится к более простой - к определению гармонической функции.