2. Движение несвободной материальной точки. Плоский математический маятник.

Несвободная точка – точка, которая не может занимать свободное положение в пространстве. Условия, ограничивающие перемещение точки, называются связями. Связи могут удерживать точку на некоторой кривой или поверхности. Если связь идеальная, то реакция связи направлена по нормали к кривой или поверхности.

Д.у. движения несвободной точки в проекции на оси естественных координат в случае идеальной связи .

Плоский математический маятник (тяжелая материальная точка, подвешенная на гибкой нерастяжимой нити, если плоский, то точка движется по окружности).

T

Уравнение Ньютона:. Проектируем на оси естествен. трехгр.:

(1)

(2), учитывая, обозначая(2)

перепишется в виде. Это уравнение для определение движения маятника, а из (2) определится натяжение нити.

_{а) для малых колебаний}

,(при начальных условиях),б) общий случай

–результат интегрирования. Обозначим (угол максимального отклонения), при ,

; ,

, Вводим замену переменной , гдеи учитываяи, а также начальные условиянайдем(интеграл в правой части называется эллиптическим интегралом 1-го рода, к – модуль эллиптического интеграла, а сам интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.)

3. Канонические уравнения метода сил при изгибе балок и рам

Общий метод расчета любой статически неопределимой системы можно получить на основании теоремы Кастильяно и линейной завис-ти между обобщенными силами и обобщенными перемещениями.

Рассмотрим конструкцию, состоящую из изгибаемых стержней, имеющую лишних неизвестных,,…,. На основании выражения для потенциальной энергии деформированного тела имеем

, где  изгибающий момент, возникающий в -ом стержне,и модуль упругости и модуль сдвига материала -го стержня,и площадь поперечного сечения и осевой момент инерции -го стержня, длина -го стержня,и изгибающий момент и поперечная сила, возникающие в -ом стержне,, ширина отсеченной части -ого стержня, статический момент отсеченной части -ого стержня.

С учетом линейной зависимости между усилиями в стержнях и обобщенными силами, имеем

₍₁₎ где  изгибающий момент в -ом стержне от обобщенной силы, изгибающий момент в том же стержне от нагрузки на конструкцию,  поперечная сила в -ом стержне от обобщенной силы, поперечная сила в том же стержне от нагрузки на конструкцию. Тогда

(2)

На основании формулы для обобщенных перемещений имеем

где  обобщенное перемещение, соответствующее обобщенной силе , при действии силы, то же от действия только нагрузки. T.к , то прина основании соотн-ий (2) след-т, что лишние неизв-ые уд-ют след-ей сис-ме ур-ий

(3) Таким образом, расчет любой статически неопределимой системы сводится к составлению и решению системы уравнений (3) (канонической системы метода сил). После этого усилия в элементах конструкций вычисляются с помощью формулы (1). Коэффициенты системы (3) вычисляются на основании интегралов Максвелла  Мора (интегралов Мора) и правила Верещагина.

Билет 14

1. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда.

Опр: Функциональным рядом (ФР) называется ряд, все члены которого функции.

Критерий Коши для ФР: Равномерная сходимость ФР на множествевыполнению условия:

Опр. Положительный числовой ряд называетсямажорантным на множестве для ФР, если

Теорема (признак Вейерштрасса): пусть для ФР мажорантный насходящийся ряд, тогда рядравномерно сходится на.

Док-во.◄Зададим , по критерию Коши для сходящегося ряда имеем:, но по свойству мажорантности, поэтому для ФРпо существу выполняется условие критерия Коши и он сходится равномерно на►