Глава 2 Место точки на меридианном эллипсе

в системе прямоугольных координат

2.1 Связь прямоугольных координат с географическими

Прямоугольные координаты xиyприменяются в картографии и геодезии при расчетах для построения рамок карт в различной проекции. Найдем эти координаты в зависимости от широты и параметров эллипса аиb.

Из канонического уравнения меридианного эллипса имеем:

(1.4)

После дифференцирования этого уравнения получим

и

Из рисунка (Рис.1.5) тангенс угла, составленного касательной с осью х, равен производной

, откуда=tg(90-) = -ctgи, а

Подставляя значение yв основное уравнение эллипса, получим:

= 1

После преобразования и, учитывая, что меридианный эллипс характеризуется эксцентриситетом (е) как:

, получим значение прямоугольной координатых:

(1.5)

К

ds

dx

dy

Рис.1.5

Теперь подставив в (1) значение х после преобразования получим:

(1.6)

2.2 Главные радиусы кривизны сечения меридианного эллипса

Зная значения координат точки на меридианном эллипсе в прямоугольной системе, определим значения главных радиусов кривизны меридианного сечения М и нормального к нему сечения N. Кривизна любой кривой определяется соотношением:

М=(1.7)

Из треугольника АВС, приведенного на Рис.1.4, имеем:

ds= - , знак (-) говорит о том, что с увеличением широты () радиус (r) уменьшается.

Тогда: М==, ноdr =dx, тогда

М=получим, если продифференцируем значениехв прямоугольных координатах (1.5).

, после преобразования получим:

(1.8)

Здесь: - географическая широта

а– большая полуось Эллипсоида Красовского, а = 6378245м

е² – квадрат первого эксцентриситета е²= 0,0066934

Нормальный радиус эллипса (N) зависит от координатыхкак

N= , после подстановки выраженияхполучим:

(1.9)

и

Где М– меридианный радиус кривизны,

N- нормальный радиус кривизны,

R– средний радиус кривизны.

2.3 Длина одной минуты дуги меридиана.

Длина Sодной минуты дуги меридиана может быть определена из следующего равенства:

d S = M d= (1.10),

следовательно, дуга меридиана между параллелями ₁и₂будет:

S=a(1-e²)(1.11)

Этот интеграл не выражается в элементарных функциях, поэтому подынтегральное

выражение разложим в ряд, получим:

=1 + 3/2e²Sin² + 15/8e⁴ Sin⁴ + 105/48e⁶Sin⁶ + ……..

Продолжим разложение значений Sin.

Sin² = ½ - 1/2Cos2 - …………..

Sin⁴ = 3/8 – 1/2Cos2 + 1/8 Cos4 + ………….тогда:

=A – B Cos2 + C Cos4 - Dcos6 +……, теперь находим значения коэффициентовА, В.

А = 1 + 3/4е² + 45/64е⁴ + 175/256е⁶ +…………..

В = 3/4е² + 15/16е⁴ + 525/512е⁶ +……….Подставляя эти значения коэффициентов в знаменатель формулы (1.11) и, принимаяd=arc1^, получим следующее выражение длины одной минуты дуги меридиана:

S = a(1-e²) A arc1 - a(1-e²) B arc1 Cos2.

Подставляя значения параметров эллипсоида Красовского аие²:

а(1-е²) А = 6 368 027,5

а(1-е²) В= 32 073 и значениеd=arc1=

получим окончательно:

S= 1852,25 – 9,31Cos2метры (1.12)

Как видим, длина одной минуты дуги меридиана величина переменная, зависит от удвоенной широты места исследуемой точки и меняется в пределах от 1843,0 м на экваторе и до 1861,6 м на полюсе.

В навигации принято Землю принимать за шар, у которого длина одной минуты дуги меридиана равна округленной до целого значения величины 1852 метра.

Эту величину морской мили в метрах узаконили на Международном гидрографическом бюро в Монако в 1928 году.