Глава 9

Картографические проекции, используемые в мореплавании

9.1 Требования к морской навигационной карте

Географической картой называется уменьшенное, обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, полученное по определенному математическому закону. Этот закон для карты называется картографической проекцией.

Картографическая проекция это математический закон, осуществляющий связь между положением точки на земной поверхности и положением изображения этой точки на карте. Уравнение картографической проекции:

По этому закону устанавливается функциональная связь между картографическими (прямоугольными) координатами () и географическимии.

Наука, занимающаяся рассмотрением различных способов построения карт, называется картографией.

Совокупность линий, изображающих меридианы и параллели на карте называется картографической сеткой.

Для использования в судовождении морская навигационная карта должна удовлетворять следующим требованиям:

• карта должна быть равноугольной (конформной), т.е. углы, пеленги и курсы не должны на ней искажаться,

• линия пути судна, составляющая с меридианами постоянный угол, должна изображаться на карте прямой линией. Такая линия называется локсодромией.

Локсодромия – греческое слово и означает дословно – кривой бег. Это линия двойной кривизны, на поверхности Земли составляет с меридианами одинаковые углы и имеет вид спирали. Плавание по локсодромии упрощает работу, так как на навигационной карте это будет прямая линия. Отсюда следует, что если локсодромия прямая, то и меридианы являются параллельными линиями, а экватор, который перпендикулярен меридианам, тоже является прямой линией, как и все параллели, ему параллельные.

Картографическая проекция, удовлетворяющая поставленным требованиям, предложена была в 1569г. Меркатором (фламандский картограф Герард Кремер (1512-1594г.)), более известен под латинским псевдонимом Меркатор). В его эпоху была открыта Америка, мореплаватели обогнули мысы Доброй Надежды и Горн, и достигли Индии. Это эпоха отважных мореплавателей послужила мощным толчком к развитию прикладных отраслей математики, из которых выделилась навигация и картография.

Меркаторская картографическая проекция широко применяется, и будет применяться в морской навигации.

9.2 Основы теории проекции Меркатора

Меркаторская проекция относится к классу цилиндрических, нормальных, равноугольных проекций, в которых картографическая сетка представляет собой взаимно перпендикулярные параллели и меридианы. Расстояние между меридианами соответствует разности долгот. Цилиндрическая проекция задается уравнениями:

x = f() иy=c*,

где хиу - картографические координаты в прямоугольной системе.

Первое уравнение параллелей, а второе меридианов. Термин цилиндрическая говорит о том, что проекция эллипсоида или шара выполняется на поверхность цилиндра. Меркаторская проекция не может быть представлена четкой геометрической картиной из-за налагаемого на нее требования равноугольности.

Этапы проектирования морской навигационной карты:

• Первый этап. Геодезические измерения на поверхности Земли и координатные привязки к референц-эллипсоиду.

• Второй этап. Уменьшение размеров референц-эллипсоида до определенного масштаба с целью развертывания его на плоскость. Это математическое преобразование эллипсоид – глобус сохраняет геометрическое подобие контуров изображений. Масштаб преобразований называется главным масштабом карты(₀).

• Третий этап. Выбор картографической проекции развертывания глобуса на плоскость и преобразование глобус – карта. При проектировании эллипсоида на плоскость масштаб₀будет постоянным на ограниченном множестве точек карты. При удалении этого множества, масштаб изменяется и становится частным()другого множества точек. Отношениес=называется увеличением масштаба.

Если с=а, гдеа– радиус экватора, то масштаб вдоль экватораn₀равен главному масштабу₀и в этом случае говорят, что проекция будет на касательный цилиндр. Если масштаб выбран вдоль какой-либо параллели и он равен главному масштабу ₀, то говорят о проекции на секущий цилиндр.

На рисунке 1.51 а) дана элементарная трапеция поверхности земного эллипсоида в масштабе ₀и ограниченная отрезками параллелей и меридианов. Локсодромией является диагональ трапеции и имеет элементарную длинуds.

На рисунке 1.51 b) желаемая форма этой трапеции после применения к ней математического преобразования, называемого картографической проекцией.

а)b)

dsdxdsРис. 1.51

NCos d dy = c d

В этой трапеции масштабы преобразования эллипсоид – глобус по параллели nи меридиануmравныm = n = ₀,откуда углы на глобусе равны углам на эллипсоиде.

При проектировании глобуса на плоскость нужно сохранить равенство углов, при этом изменится конфигурация координатной сетки, но отношение остается постоянным.

Сравним длину меридиана на трапеции и четырехугольнике:

,,

Поскольку у = а, так как на экваторе с =аиdy = a d,тоn=.

Приравняем масштабы mиn:

, отсюдаdx = . Проинтегрируем полученное выражение похи по.

. (1.69)

Это есть закон изменения расстояния от экватора по меридиану до параллели места наблюдателя.

Окончательно запишем уравнение меркаторской проекции и формулу масштабов после интегрирования.

x =D=a

y=a

m = n= .

Величина Uв математической картографии называется изометрической широтой.

Для шара уравнения преобразуются:

y=R

m = n= , где

R– радиус шара.

Размерность х иувыражается в метрах, для целей навигации удобней их выразить в экваториальных минутах. Радиус экватора в минутах дугиа= 3437,74, тогда

х =D= 3437,74

Для перехода от натуральных к десятичным логарифмам применим коэффициент

Тогда, произведя преобразования, получим:

7915,704468(1.70)

Для шара это будет D= 7915,704468(1.71)

Величина xилиD, или МЧ называется меридиональной частью и представляет собой расстояние, отсчитываемое на меркаторской карте по меридиану от экватора до данной параллели, и выражается в минутах (милях) дуги экватора. Значение МЧ приведено в картографических таблицах и в МТ (табл. 26 МТ-63).

Анализируя последнее выражение, находим существенное ограничение карты в меркаторской проекции. Если  = 90, тоD=, т.е. на карте в меркаторской проекции предполюсное и полюсное пространство изобразить не возможно.

О главном масштабе навигационной карты.

Главный масштаб карты показывает во сколько раз уменьшено изображение земной поверхности вдоль конкретной параллели при ее проектировании на карту. Численно это будет выглядеть как отношение: , где

С₀– знаменатель главного масштаба. Он всегда приводится в заголовке карты. Для оптимальной стыковки карт главные параллели определяют для каждого моря и карты данного бассейна имеют одну главную параллель. Для Балтики₀= 60N, для Белого моря₀= 66N, для Черного моря₀= 44, для открытых частей мирового океана₀=0,₀= 25(N,S) и₀= 40(N,S).

На карте различают главный масштаб и частный масштаб. Частный масштаб сохраняется постоянным вдоль параллели и изменяется при переходе от одной параллели к другой. Частный масштаб по мере удаления от главной параллели к полюсам (N,S) увеличивается, а к экватору уменьшается. Для перехода от масштаба главной параллели к частному масштабу используют формулу, где- частный масштаб карты,- масштаб по главной параллели,

Р₀– длина одной минуты (1^) дуги главной параллели (мм).

Рассмотрим Рис. 1.51 (a,b) для вывода отношений масштабов на параллели к масштабу на экваторе. Как было выяснено, масштабыmиnявляются функцией географической широты.

Из рисунка (Рис.1.52) выявляем равенство АВ = а в =Rarc1.

Длина отрезка АВ на проекции выразится отношением:

е = (1.72)

Величина е -это изображение 1 экваториальной мили, выраженная в линейных мерах (миллиметрах),называется единицей карты.

Длина отрезков А¹В¹и А²и В²можно выразить по подобию отрезка экватора АВ, как:

А¹В¹= а¹ в¹=R Cos₁arc1¹

A² B² = a² в² = R Cos₂ arc1¹

Тогда единица карты еопределится отношениями:

С₁и С₂– знаменатели численного масштаба на соответствующей параллели₁и₂.

Параллель в широтах ₁и₂считается главной параллелью. Если взять отношения численного масштаба на экваторе к численным масштабам на параллелях, то получим, что их отношения зависят отSec_i.

a)b)

Р_N

RCos²о²

а²в²А²В²

RCos¹ о¹

а¹А¹В¹

в¹

¹R²оРис. 1.52

а R

в А В

е =

, =Sec₂

отсюда вытекает, что знаменатель численного масштаба на меркаторской карте, считаемый вдоль экватора в Secраз больше знаменателя численного масштаба главной параллели в широте.

Если перейти от формы Земли в виде шара к форме сфероида, то взаимосвязь численных масштабов между собой и единицы карты от численного масштаба на экваторе перепишутся в виде:

С_Э = С₁ SecU₁ = C₂SecU₂ (1.73)

e = (1.74)