Лінійні операції над векторами в координатах.

Нехай задані вектори в прямокутній системі координат тоді

Скалярний добуток векторів.

Визначення. Скалярним добутком векторівіназивається число, рівне добутку довжин цих сторін на косинус кута між ними.

Властивостіскалярного добутку:

1. = ²;

2. = 0, якщоабо= 0 або= 0.

3. = ;

4. ( + ) = + ;

5. (m )=(m ) =m(  );

Якщо розглядати вектори в декартовій прямокутній системі координат, то

=x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Використовуючи отримані рівності, одержуємо формулу для обчислення кута між векторами:

;

Приклад.Знайти (5+ 3 )(2–), якщо

10  – 5  + 6  – 3 = 10 ,

оскільки .

Приклад.Знайти кут між векторамий, якщо

.

Тобто = (1, 2, 3),= (6, 4, –2)

 = 6 + 8 – 6 = 8:

.

cos =

Приклад.Знайти скалярний добуток (3– 2 )(5– 6 ), якщо

+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Приклад.Знайти кут між векторамий, якщо.

Тобто = (3, 4, 5),= (4, 5, –3)

 = 12 + 20 – 15 =17;

.

Приклад.При якомуmвекторийперпендикулярні?

= (m, 1, 0);= (3, –3, –4)

.

Приклад.Знайти скалярний добуток векторіві, якщо

( )( ) =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторний добуток векторів.

Визначення.Векторним добутком векторівіназивається вектор, що задовольняє наступним умовам:

1) , де–кутміж векторамий,

2) вектор ортогональний до векторіві

3) ,іутворюють праву трійку векторів.

Позначається: або .



Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) , якщоабо= 0 або= 0;

3) (m ) =(m ) =m(  );

4) ( +) = +;

5) Якщо задані вектори (x_a, y_a, z_a) і (x_b, y_b, z_b) у декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами, то

 =

6) Геометричним змістом векторного добутку векторів є площа паралелограма, побудованого на векторах і.

Приклад.Знайти векторний добуток векторіві

.

= (2, 5, 1);= (1, 2, –3)

.

Приклад.Обчислити площу трикутниказвершинамиА(2, 2, 2),В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

(од²).

Приклад.Довести, що вектори,ікомпланарны.

, тому що вектори лінійно залежні, то вони компланарны.

Приклад.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо

(од²).

Мішаний добуток векторів.

Визначення.Мішаним добуткомвекторів,іназивається число, рівне скалярному добутку векторана вектор, дорівнює векторному добутку векторіві.

Позначається або (,,).

Мішаний добуток за модулем дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах,і.

Властивості мішаного добутку:

1) Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо:

а) хоч один з векторів дорівнює нулю;

б) два з векторів колінеарні;

в) вектори компланарні.

2)

3)

4)

5) Об'єм трикутної піраміди, утвореної векторами ,і, дорівнює

6) Якщо ,, то

Приклад.Довести, що точкиА(5; 7; 2),B(3; 1; –1),C(9; 4; –4),D(1; 5; 0) лежать в одній площині.

Знайдемо координати векторів:

Знайдемо мішаний добуток отриманих векторів:

,

Таким чином, отримані вище вектори компланарны, отже точки A,B,CіDлежать в одній площині.

Приклад.Знайти об'єм піраміди й довжину висоти, опущеної на граньBCD, якщо вершини мають координатиA(0; 0; 1),B(2; 3; 5),C(6; 2; 3),D(3; 7; 2).

Знайдемо координати векторів:

Об'єм піраміди

Для знаходження довжини висоти піраміди знайдемо спочатку площу основи BCD.

S_осн=(од²)

Оскільки V = ;(од).