17. 3. Переход от азимута к дирекционному углу через сближение меридианов

Обработку геодезических измерений выполняют с использованием дирекционных углов. Однако азимуты измеряют непосредственно (астрономическим или гироскопическим способом). Для перехода к дирекционным углам надо знать сближение меридианов.

Для вывода формулы сближения меридианов представим, что Земля имеет форму шара. Проведем через точку А меридиан, дугу малого круга (параллельно осевому меридиану) и дугу параллели АС (рис. 1, а). Через точку С проведем касательную СТ к осевому меридиану, а через точку А — касательную AT к меридиану и касательную AD к малому кругу. Так как при переходе с поверхно­сти шара на плоскость в проекции Гаусса—Крюгера углы не иска­жаются, а угол между кривыми — угол между касательными к этим кривым, то DAТ изобразится в проекции без искажений и будет равен . Предположим, что точка А находится недалеко от осевого меридиана (внутри шестиградусной зоны). Тогда прямая AD почти параллельна прямой СТ. В этом случае CTA = TAD = , а дугу окружности АС, проведенную из центра 0₁ радиусом r, можно принять за дугу окружности радиуса ТА.

Рисунок 1. Схемы для вычисления сближения меридианов  и дирекционного угла 

MN— линия местности; А — истинный азимут;  — дирекционный угол;  — сближение меридианов;  — поправка в направление за кривизну изображения линии местности в проекции

Тогда  = AC / AT,

но AC – дуга параллели с радиусом r и центральным углом ℓ , поэтому

,

На основании теоремы о равенстве углов со взаимно перпенди­кулярными сторонами можно написать, что

ATO₁ = AOE = B,

где В - широта точки А.

Из прямоугольного треугольника AO₁T:

АТ = r / sin B,

тогда получим ℓ =L - L₀ ,

где L—долгота меридиана, проходящего через данную точку; Lo —долгота осево­го меридиана.

На основании этого можно записать:

 = (L - Lo)sin B.

Отсюда следует, что сближение меридианов в восточной части зоны положительно, а в западной - отрицательно. Для точек, находящихся на одной параллели, значение тем больше по аб­солютной величине, чем дальше точка находится от осевого меридиана. Во всех точках, расположенных внутри шестиградусной зоны, абсолютная величина сближения меридианов меньше 3°, а на осевом меридиане и на экваторе сближение меридианов равно 0°.

Зависимость между азимутом и дирекционным углом какого­-либо направления легко установить на основании рис. 1. Для удобства математической обработки результатов измерений изображение линии местности в виде кривой MN заменяют пря­мой MN. Искомая зависимость в соответствии с рис. 1. выражается формулой:

 = А — —,

где: = 0,0025(Х_ - Х_)У_ср; У_ср= (Х_ + Х_) / 2.

Для съемочного обоснования топографических съёмок поправ­кой по малости пренебрегают и пользуются формулой:

 = А —  .

17.4. Перекрытие зон

При геодезических работах вблизи границы двух зон вслед­ствие обособленности систем координат этих зон могут возник­нуть трудности при математической обработке сетей, например, полигонометрического хода, проложенного между пунктами А и В (рис. 2), расположенными в разных зонах. Чтобы избежать в таких случаях перевычисления координат ис­ходных пунктов из одной зоны в смежную с ней, условились о пе­рекрытии координатных систем смежных шестиградусных зон в некоторой полосе шириной в 1. При этом, западная зона перекры­вает восточную, а восточная — за­падную на 30'. В полосе перекры­тия зон.

Рисунок 2. Перекрытие зон

координаты геодезических пунктов вычисляют в двух систе­мах координат смежных зон, а на листах топографических карт по­казывают выходы линий обеих координатных сеток.