13.2. Плоские прямоугольные геодезические координаты

Для решения многих задач гораздо удобнее и практичнее пе­рейти от геодезических координат B и L к системе плоских прямо­угольных геодезических координат X, Y. При этом должна быть обеспечена однозначная связь геодезических и плоских прямоу­гольных геодезических координат точек (в дальнейшем плоских прямоугольных координат). Указанной цели достигают, если по­верхность общего земного эллипсоида (референц-эллипсоида) изобразить на плоскости по соответствующим математическим правилам, которые образуют так называемые «картографические проекции».

Аналитически картографические проекции описывают соответствующими математическими уравнениями, позволяющими определить по геодезическим координатам точки (В, L) ее плос­кие прямоугольные координаты (X, Y) в соответствующей кар­тографической проекции. Отобразить поверхность эллипсоида на плоскости без искажений невозможно. По характеру искажений картографические проек­ции могут быть равноугольными, равновеликими и произволь­ными.

Основное условие равноугольного отображения поверхности эллипсоида на плоскости — подобие бесконечно малых фигур, что обуславливает отсутствие при переходе от поверхности эллипсои­да на плоскость искажений углов малых геометрических фигур. В равновеликих картографических проекциях отношение соответ­ствующих площадей геометрических фигур сохраняется постоян­ным.

На практике удобно, чтобы меридианы и параллели на картах представляли собой прямые линии. Для этого при преобразова­нии на плоскость поверхности эллипсоида (шара) используют ци­линдрические картографические проекции.

В Российской Федерации для перехода от геодезических коор­динат (В, L) к плоским прямоугольным геодезическим координа­там (X, Y) используют поперечную цилиндрическую равноуголь­ную картографическую проекцию, получившую название «проек­ция Гаусса—Крюгера», а соответствующую ей систему координат называют государственной. Она разработана исходя из следующих условий:

проекция сохраняет равенство соответствующих горизонталь­ных углов на поверхности эллипсоида и на плоскости;

бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подоб­ным ему контуром на плоскости;

масштаб изображения в каждой точке проекции зависит только от ее координат и не зависит от направления;

при использовании проекции земной эллипсоид разделяется меридианами на зоны, имеющие свое начало координат — пересе­чение осевого меридиана с экватором;

масштаб проекции вдоль осевого (среднего) меридиана зоны равен единице, т. е. его изображают без искажения.

Осевой меридиан зоны и экватор изображают на плоскости двумя взаимно перпендикулярными линиями.

Принцип построения картографической проекции Гаусса— Крюгера показан на рисунке 1. При ис­пользовании проекции Гаусса—Крюгера в основу положено разделение поверхности общего земного эллипсоида на ряд оди­наковых меридианных полос с заданной разностью долгот 6° гра­ничных меридианов. Изображение на плоскости каждой шести­градусной полосы представляет собой колонну листов Междуна­родной карты мира в масштабе 1:1 000 000. Шестиградусная полоса в свою очередь является шестиградусной координатной зо­ной, ограниченной изображениями соответствующих меридианов. В зоне с номером n (рис. 1.5, а) кривые PQP₁ и PQ'P₁ являются граничными меридианами 6° зоны; пунктирная линия — осевой меридиан, долгота которого

L₀ = 6° n — 3°. Эта зона на плоскости изображена в проекции. Кривые pqp₁ и pq'p₁ — изображения гра­ничных меридианов; прямая рр₁ — изображение осевого меридиа­на, а прямая qq'— изображение экватора. Прямолинейное изобра­жение осевого меридиана и экватора на плоскости позволяет их использовать в качестве осей плоской прямоугольной системы ко­ординат. Ось ординат Y направлена на восток и совмещена с изоб­ражением линии экватора, а ось абсцисс X совмещена с изображе­нием линии осевого меридиана зоны и направлена на север. Если а — изображение точки А на плоскости, то ее положение опреде­ляется плоскими прямоугольными координатами х_а и у_а (рис. 1).

Каждую шестиградусную зону нумеруют арабскими цифрами. На территории Российской Федерации принята нумерация зон, отличающаяся от нумерации зон мировой карты масштаба 1:1000 000 на тридцать единиц.

Рисунок 1. Принцип построения проекции Гаусса-Крюгера

Крайняя западная зона с дол­готой L₀ осевого меридиана, равной 21°, имеет номер 4, а к восто­ку номера зон возрастают (до 32-й на Чукотке).

Системы плоских прямоугольных геодезических координат каждой координатной зоны совершенно идентичны. Из этого сле­дует, что плоские прямоугольные координаты Х и Y, вычисленные по геодезическим координатам В и L, в любой координатной зоне имеют одни и те же значения. Данное обстоятельство обусловлено тем, что проекция Гаусса—Крюгера является симметричной отно­сительно оси абсцисс. При этом абсциссы точек, имеющих одинаковую широту, являются фун­кциями не долгот, а разностей между ними и значением долго­ты осевого меридиана. Две точки А и В с одинаковой широтой и с одинаковой разностью долгот от­носительно осевых меридианов соответствующих зон (рис. 2) после их изображения на плос­кости имеют одинаковые абс­циссу и абсолютное значение ординаты.

Рисунок 2. Плоские прямоугольные геодезические координаты

Чтобы исключить из обращения отрицательные ординаты и об­легчить использование плоских прямоугольных координат, ко всем ординатам добавляют постоянное число 500 000 м. Кроме того, чтобы знать, к какой координатной зоне относятся плоские прямоугольные координаты точки, к ординате слева приписывают номер зоны. В результате получают число, представляющее собой условную ординату. Например, условная ордината точки, равная 21 349 821, 425 км, означает, что точка с этой ординатой располо­жена в 21 зоне, ее действительная ордината —150178,575 км, а дол­гота осевого меридиана зоны L₀ = 6° • 21 — 3° = 123°.

Пересчет зональных координат точек. Ввиду обособленности систем координат каждой зоны возни­кают некоторые неудобства в местах их стыковки. В этих случаях для описания положения точек используют системы координат обеих смежных зон.

Положение точки Р, расположенной на одном и том же гра­ничном меридиане двух смежных координатных зон, показано на рис. 3.

Рисунок 3 Положение точки на границе двух смежных зон

Допустим, что ее геодезические координаты равны соответственно Вp и Lp. После изображения данной точки на плоскости ее плоские прямоугольные координаты в системе коор­динат первой (на рис. 3 - «правой») зоны будут Х _Р1 и Y _Р1.

Эта же точка во второй системе будет иметь координаты Х _Р2 и Y _Р2.

При­мем, что координаты Х_Р1 и Y_P1 известны и требуется вычислить координаты точки Р в системе координат второй зоны, это часто требуется на практике. Переход от системы координат с одним осевым меридианом к системе координат с другим осевым ме­ридианом называют «переходом из зоны в зону». В общем случае его осуществляют в такой после­довательности. Вначале по изве­стным плоским прямоугольным координатам X _Р1 и Y _Р1 вычисляют геодезические координаты В_Р1 и L _Р1. Затем с учетом разности долгот осевых меридианов соответствующих зон, используя найденные геодезические координаты, вновь определяют плоские прямоугольные координаты Х_Р2 и Y_p2 точки Р, но во второй, т. е. «левой» зоне, изображенной на рисунке 3.