Вопросы для самоконтроля

1) Дисперсией D(X) случайной величины X называется число, определяемое как?

2) Среднее квадратичное отклонение _x случайной величины X называют?

3) Величина  характеризует средний разброс . . . ?

4) Для оценки точности измерений используют приближенную оценку среднего

квадратичного отклонения, которое называют?

5) Закон Гаусса выражает зависимость между . . . ?

6) Свойства случайных погрешностей равноточных измерений физической

величины, вытекающие из закона Гаусса?

7) В практике геодезических вычислений за истинное значение измеряемой

величины может быть принято значение, полученное . . . ?

8) Как по результатам измерений определить вероятнейшее значение физической

величины?

9) Какую характеристику связи дает Закон распределения случайных величин

между их значениями?

10) В практике геодезических вычислений за истинное значение измеряемой

величины может быть принято значение, полученное . . . ?

11) Почему средняя погрешность измерения физической величины не может быть

определена по правилу среднего арифметического?

12) По какой формуле вычисляется средняя квадратичная погрешность?

13) В каких случаях применяются формулы Гаусса и Бесселя для вычисления средней

квадратичной погрешности измерений?

14) По каким формулам вычисляется надежность m?

15) Как вычисляется и какой вывод можно сделать по относительной средней

квадратичной погрешности?

16) По какой формуле вычисляется средняя квадратичная погрешность

вероятнейшего значения измеряемой физической величины?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. Геодезия. М.: «КолосС», 2006.- 298 с.

2. Неумывакин Ю.К., Смирнов А.С. Практикум по геодезии. М. «КолосС», 2007.

Дополнительная

2. Лысов А. В., Шиганов А.С. Геодезия. Методические указания по изучению

дисциплины и выполнению курсовой работы студентами 2 курса очной и 3 курса заочной формы обучения специальностей 120301 “Землеустройство” и 120302. ФГОУ ВПО «Сарат. Гос. Агр. Ун-т им. Н.И. Вавилова», Саратов, 2007.- 52 с.

Лекция 8

ПОГРЕШНОСТИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

8.1. Общее понятие о неравноточных измерениях

Если измерения какой-либо величины выполнено геодезическими приборами различной точности, или различными исполнителями, или одним прибором, но различным количеством приемов, то точность таких результатов измерений буден неодинакова. У них будут неодинаковые средние квадратичные погрешности. И называются они неравноточными измерениями. Для сопоставления результатов неравноточных измерений и определения степени их надежности вводят понятие вес измерения.

Весом результата измерения называют отвлеченное число, обратнопропорциональное квадрату средней квадратичной погрешности такого результата:

Здесь: Р – вес результата измерения, С – коэффициент – произвольное постоянное число для данного ряда измерений, m – средняя квадратичная погрешность результата измерения.

Из формулы следует, что чем меньше средняя квадратичная погрешность измерения, тем больше его вес и результат измерения точнее.

Пример: угол измерен со средней квадратичной погрешностьюm = 2. Вычислить вес результата измерения? На основании формулы веса, имеем:

Пример: углы₁ и ₂ измерены со средними квадратичными погрешностями соответственно m₁ = 2, m₂ = 3. Определить отношение весов результатов этих измерений:

Следовательно, первое измерение надежнее второго в два с четвертью раза.

Пример: Вес угла  принят Р_ = 3, при средней квадратичной погрешности

m_ = 5. Каков будет вес угла , если его средняя квадратичная погрешность m_ = 8?

Вес простой арифметической середины. Допустим, имеется ряд равноточных измерений:

ℓ₁, ℓ₁, . . . ℓ_n, то очевидно, вес P_m одного измерения будет меньше веса арифметической середины P_M.

Поскольку, отношение весов результатов измерений обратнопропорционально квадратам их средних квадратичных погрешностей то:

, здесь:

m – погрешность одного измерения (ℓ_i) с весом P_m ,

M – погрешность среднего арифметического (ℓ₀) с весом P_М.

Вывод: Вес среднего арифметического из n измерений больше отдельно взятого измерения в n раз. Следовательно, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она определена.

Пример: Вычисления по трем равноточным измерениям: 128.14, 128.19, 128.10 м:

x_i v v² 2m = 8 см

128.14 0 0

128.19 +5 25

128.10 -4 16

x₀=128.14 =41

Средняя квадратичная погрешность одного измерения равна 4 см; Предельная погрешность – 8 см; относительная погрешность 1 м на 3200 м измеряемой величины; Погрешность вероятнейшего значения 3 см; Вес одного измерения P_m = 1; Вес арифметической середины P_M = 1x3 =3; Истинное значение величины X = 128.14  0.03 м.

Вес (А₀) общей арифметической середины. Имеются два ряда неравноточных измерений одной величины:

а₁, а₂, … а_n; a₁, a₂ … a_n;

найдем среднее арифметическое для каждого ряда:

; , отсюда:

а₁+а₂+ … +а_n= nа₀= ра₀; а₁+а₂+ … +а_n= nа₀= ра₀, следовательно:

, или

в общем случае: , таким образом:

общая арифметическая середина из неравноточных измерений равна дроби, в числителе которой сумма произведений средних арифметических из результатов измерений на их веса, а знаменатель – сумма всех весов измерений.

Очевидно, что вес общей арифметической середины равен сумме весов неравноточных измерений.

Пример: Вычислить вероятнейшее значение расстояния, если результат однократного измерения 3 400, двукратного – 3 455, трехкратного –

3 454.5 м?

Вес каждого результата примем пропорциональным количеству измерений, тогда:

;

;

L₀ = 3 000 + 445.6 = 3 445.6 м.