6.2. Случайные величины и закон их распределения

Случайной величиной в теории погрешногстей называют переменную величину, проявление какого-либо значения которой, представляет собою случайное событие.

Различают случайные величины прерывные (дискретные) и непрерывные. Дискретную величину можно представмть как ряд точек на графике, а непрерывную величину – как ряд точек, слившихся на графике в сплошную линию (частота кадров в кино).

Закон распределения случайных величин дает полную характеристику связи между значениями случйных величин и соответствующими вероятностями. Закон распределения может быть выражен в различной форме. Для дискретных случайных величин Х_t с конечным числом значений он может быть в виде таблицы распределения

X1, X2, . . . . . . Xt

P1, P2, . . . . . . Pt ,

где Х_t– значения случайных величин

Р_t – соответствующие им вероятности.

Для случайной непрерывной величины закон распределения может быть задан функцией, которая называется плотностью распределения случайной величины, или плотностью вероятности:

.

В правой части записана вероятность такого события, когда значение случайной величины Х будет равно какому-то произвольному наперед заданному значению х.

Для непрерывной величины сумма вероятностей равна 1:

.

Случайные величины могут быть независимыми и зависимыми друг от друга. Независимые они в том случае, когда изменение одной из них не влияет на распределение другой. В противном случае они зависимы.

Для практической работы часто используют лишь отдельные параметры закона распределения случайной величины, такие как :математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

6.3. Математическое ожидание и его свойства

Математическим ожиданием случайной величины Х называют число Х, определяемое равенством:

,

если Х прерывная величина, заданная таблицей распределения.

,

если Х непрерывная величина с плотностью распределения f(x).

Между математическим ожиданием X случайной величины и ее средним арифметическим значением х имеется связь, например, имеем n измерений величины х:

х₁ (к₁ раз), х₂ (к₂ раз), . . . х_t (к_t раз).

Тогда среднее арифметическое из них:

,

где к₁ + к₂ + … к_t = n

т. к. к₁/ n = p₁*, то

x = х₁p₁*+ х₂p₂*+…х_tp_t*, где:

p*- частость проявления х.

При достаточно большом числе измерений p* = p, (т.е. частость можно заменить вероятностью), тогда:

x = х₁p₁+ х₂p₂+ …+ х_tp_t =  х_ip_i =X (т. е. х = Х)

Чем больше количество измерений какой-то величины Х, тем ближе ее среднее арифметическое к математическому ожиданию.

Вывод: При неограниченно большом количестве измерений (n) среднее арифметичесое значение величины равно ее математическому ожиданию.

В этом случае вероятность Р среднеарифметической величины стремится к 1, или математически это можно выразить так:

,

т.е. предел вероятности разности абсолютного значения среднеарифметической величины и ее математического ожидания стремятся к 1 (где  бесконечно малая величина).

Математическое ожидание имеет ряд свойств:

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

5. Математическое ожидание линейной функции случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий этих величин: