Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции бакалаврам геодезия.doc
Скачиваний:
279
Добавлен:
25.03.2015
Размер:
9.46 Mб
Скачать

7.3. Формулы Гаусса и Бесселя для вычисления средней квадратичной погрешности

Для решения этой задачи К. Ф. Гауссом была предложена формула средней квадратичной погрешности:

Средняя квадратичная погрешность обозначена через m и возведена в квадрат. Погрешности каждого измерения в этой формуле также возведены в квадрат, их сумма разделена на количество погрешностей n. Отсюда:

Средняя квадратичная погрешность данного ряда измерений физической величины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма квадратов погрешностей измерений, а в знаменателе – количество измерений.

Формула Гаусса применяется, когда вычисления выполняются по истинным погрешностям, т.е. когда известно истинное значение измеряемой величины.

Вычисления средней квадратичной погрешности m выполняют так же по формуле Бесселя:

В формуле Бесселя в числителе под корнем квадратным представлена сумма квадратов уклонений результатов измерений от среднего арифметического значения измеряемой величины (арифметической середины, или вероятнейшего значения).

Для оценки надежности вычисленной средей квадратичной погрешности m применяются формулы соответственно:

Например, по результатам измерений, приведенным в таб. 1.:

Следовательно, вероятнейшая средняя квадратичная погрешность данного ряда измерений физической величины равна 0.07 м с погрешностью 0.02 м.

Исследованиями доказано, что надежный результат вычисления m получается при количестве измерений не менее 8.

По величине средней квадратичной погрешности определяется предельная погрешность данного ряда измерений. В теории ошибок доказывается, что лишь три ошибки из 1 000 превосходят 3m, т. е. можно считать что

пр = 3m .

В нашем примере пр = 3007 = 0.21 м, т. е. если в ряду измерений физической величины имеются абсолютные погрешности >3m (0.21 м), то они являются грубыми и результат измерения исключается из данного ряда измерений.

В инструкциях по производству геодезических измерений устанавливают более жесткий допуск: пр = 2m, в среднем лишь 5 погрешностей из 100 превосходят этот

предел.

Средняя квадратическ4ая погрешность не дает полного представления о точности результатов измерений, поэтому вычисляют относительную погрешность m / x0. В приведенном примере:

т.е. на 6916 м измеряемой линии приходится 1 м погрешности. Поэтому, можно сделать определенный вывод о точности и пригодности результата измерений для последующих вычислений.

Вычисленное вероятнейшее значение (среднее арифметическое) расходится с истинным значением на некоторую величину, которую называют погрешностью вероятнейшего значения (или погрешностью среднего арифметического значения). Для вывод формул вычисления средней квадратической погрешности вероятнейшего значения по истинным погрешностям приведем ряд измерений:

X1 – X = 1

X2 – X = 2

. . . . . .

Xn – X = n

Сложив и разделив почленно на n все равенства, получим:

.

Разность X0 – X есть отклонение вероятнейшего значения от истинного значения измеряемой величины. Обозначим ее через М и возведем в квадрат левую и праву части уравнения в квадрат, тогда:

, или:

Пренебрегая суммой удвоенных произведений i из-за ее малости, получим:

; ; , т.е.:

средняя квадратичная погрешность вероятнейшего значения измеряемой физической величины равна дроби, в числителе которой средняя квадратичная погрешность одного измерения данного ряда измерений, а в знаменателе - корень квадратный из количества измерений.

Для вывода формулы М по вероятнейшим значениям погрешностей, в полученной формуле заменим m на его значение

; ; ; , т. е.

средняя квадратичная погрешность вероятнейшего значения измеряемой физической величины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма квадратов вероятнейших погрешностей, а в знаменателе произведение количества измерений на количество измерений без одного.

В приведенном примере:

.

Вывод: вероятнейшее значение 484.18 измеряемой физической величины отличается от истинного ее значения на 0.03 м, что соответствует относительной погрешности в 1 / 16 000, что указывает на высокую точность результатов измерений.