16.3. Масштаб изображения в проекции.

Значение искажения зависит от масштаба изображения линий в проекции, т.е. отношения длины бесконечно малого отрезка в проекции к длине соответствующего отрезка на сфероиде (шаре).

Если длина малого отрезка на сфероиде (шаре) равна S, а длина его изображения в проекции Гаусса—Крюгера — S_r , то масштаб изображения m длины линии в этой проекции можно выразить приближенным равенством:

,

которое будет тем точнее, чем меньше значение S.

Если линия S лежит на осевом меридиане, рис. 5, то S_r и S равны, т. е. S_r = S и тогда масштаб:

.

Его называют главным масштабом проекции.

Если линия S находится на каком-то расстоянии (y) от осевого меридиана, то S_r  S и тогда масштаб:

,

его называют частным масштабом проекции.

Искажение линии S в результате ее переноса на образующую цилиндра и затем на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера вычисляется как

S_r – S = S.

Относительное искажение длины линии определяется отноше­нием абсолютного искажения к длине линии на шаре:

.

Вывод - относительное искажение длины линии в проекции есть отклонение масштаба проеции от единицы, или отклонение частного масштаба от главного масштаба проекции. Следовательно, масштаб изображения в пределах одной и той же зоны различен и зависит от удаленности отрезка от осевого меридиана.

Для установления этой зависимости дадим понятие о прямоугольных сферических координатах. Представим Землю в виде шара (рис. 7.).

Примем осевой меридиан и экватор за оси координат х и у. Положение точки N можно определить при помощи дуги N₀N = у большого круга, пер­пендикулярного к осевому меридиану, и дуги N'₀N₀ = x осевого меридиана. Эти дуги называют сферическими прямоугольными коор­динатами точки N.

Проведем на шаре дугу NN малого круга, параллельную осево­му меридиану. И продолжим линию ON. В пересечении ее с лини­ей N₀N₁ параллельной плоскости экватора, получим точку N₁. Аналогично получим и точку N₁. Следовательно, дуга NN заменится дугой N₁N₁, равной и параллельной дуге N'₀N₀, располо­женной на осевом меридиане.

Дуги N₁N₁ и NN мысленно разобьем на бесконечное число ча­стей. Отношение длин этих дуг будет равно отношению длин бес­конечно малых частей этих дуг, т. е. будет равно масштабу изображения в любой точке дуги N₁N₁, в частности в точке N₁,

,

Рисунок 7. Сферические прямоугольные координаты

По рис. 7:

,

,

где R-радиус Земли;  - двугранный угол, образованный плоскостями, в кото­рых лежат дуги N₀N и N'₀N'; г - радиус малого круга.

Подставив полученные выражения дуг N₁N₁ и NN, получим:

,

Из прямоугольного треугольника ОNО₁, имея в виду, что О О₁N = 90, а

 ОNО₁ = ОNN₀ = , найдем:

r = RCos, .

Из рис. 7, видно, что:

.

Для точек, лежащих внутри шестиградусной (трехградусной) зоны, по сравнению с радиусом Земли R ордината у — величина небольшая, поэтому и угол  - величина малая.

Разложив sec в ряд Маклорена, и ограничившись ввиду мало­сти угла  двумя членами разложения, получим

.

Подставив вместо  его выражение y/R, окончательно получим:

.

Рассмотрен случай, когда отрезок дуги NN параллелен осевому меридиану. Но проекция Гаусса—Крюгера равноугольная, т. е. со­храняет подобие бесконечно малых фигур, поэтому соответствую­щие отрезки для точек на шаре и плоскости в проекции будут про­порциональны. Следовательно, отношение этих отрезков по лю­бому направлению будет одно и то же. Значит, и масштаб изобра­жения в какой-либо точке проекции Гаусса - Крюгера будет один и тот же по всем направлениям, а поэтому формула для m справед­лива для отрезков любого направления.

Относительное искажение длин выразится формулой:

.

На осевом меридиане у = 0, поэтому искажение длин здесь m - 1 = 0, а масштаб изображения m = 1.

Наибольшее искажение получают длины отрезков, находящих­ся на краю шестиградусной зоны на широте экватора, где у = 330км, и

.

На территории б. СССР наибольшее относительное искажение длин в шестиградусной зоне достигает 1/1200, что практически не имеет значения при съемках в мелких масштабах и заметно при съемках в крупных масштабах (1:5000 и крупнее). По этой причи­не при крупномасштабных съемках применяют трехградусные зоны, в которых искажения достигают меньших размеров, чем в шестиградусньгх зонах.