Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции бакалаврам геодезия.doc
Скачиваний:
279
Добавлен:
25.03.2015
Размер:
9.46 Mб
Скачать

Вопросы для самоконтроля

1) Какие измерения называются неравноточными?

2) Для чего введено понятие вес измерения?

3) По какой формуле вычисляется вес измерения?

4) Вычислить вес результата измерения если угол измерен со средней

квадратичной погрешностью m = 2?

5) Вес угла  принят Р = 3, при средней квадратичной погрешности m = 5.

Каков будет вес угла , если его средняя квадратичная погрешность m = 8?

6) Вычислите m по трем равноточным измерениям: 128.14, 128.19, 128.10 м?

7) Вычислите предельную погрешность для ряда их трех равноточных измерений:

128.14, 128.19, 128.10 м?

8) Вычислите погрешность вероятнейшего значения для ряда их трех равноточных

измерений 128.14, 128.19, 128.10 м?

9) Вычислите относительную среднюю квадратичную погрешность вероятнейшего значе

ния для ряда их трех равноточных измерений 128.14, 128.19, 128.10 м?

10) Вычислить вероятнейшее значение расстояния, если результат однократного измерения

3 400, двукратного – 3 455, трехкратного – 3 454.5 м?

11) Средняя квадратичная погрешность измерения m = 4. Вес измерения Рm = 1. Чему равна

средняя квадратичная погрешность измерения с весом равным единице?

12) Средняя квадратичная погрешность измерения m = 4. Вес измерения Рm = 1. Чему равна

средняя квадратичная погрешность измерения с весом равным трем?

13) Как вычислить среднюю квадратичную погрешность с весом равным единице для ряда

абсолютных погрешностей неравноточных измерений?

14) Чему равна средняя квадратичная погрешность общей арифметической середи

ны неравноточных измерений?

15) Чему равна сумма произведений вероятнейших погрешностей неравноточных измере

ний на их веса?

16) Чему равна сумма вероятнейших погрешностей равноточных измерений?

17) Напишите формулу Бесселя для вычисления средней квадратичной погрешности нерав

ноточных измерений с весом равным единице?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. Геодезия. М.: «КолосС», 2006.- 298 с.

2. Неумывакин Ю.К., Смирнов А.С. Практикум по геодезии. М. «КолосС», 2007.

Дополнительная

1. Лысов А. В., Шиганов А.С. Геодезия. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению курсовой работы студентами 2 курса очной и 3 курса заочной формы обучения специальностей 120301 “Землеустройство” и 120302. ФГОУ ВПО «Сарат. Гос. Агр. Ун-т им. Н.И. Вавилова», Саратов, 2007.- 52 с.

Лекция 9

Погрешности функций геодезических измерений

9.1. Функции результатов измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений как функции измеренных величин. Такие результаты будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешностей аргументов по которым их вычисляли. Различают функции следующих видов:

1 Функция вида U = kl

2 Функция вида U = l1 + l2

3 Функция вида U = l1 - l2

4 Функция вида U = l1 - l2+ l3

5 Линейная функция вида

U = k1l1 + k2l2 + . . .+ knln

6 Функция общего вида

U = f(l1 + l2 + . . .+ ln)

1 Функция вида U = kl

где: k – постоянный коэффициент, l – измеренная величина, которая содержит случайную погрешность измерения, истинное значение l = x. Тогда:

U = kl приближенное значение функции

U1 = kх точное значение функции

U = kl истинная погрешность функции

При многократном измерении одной величины получим:

U1 = kl1 Возведем в квадрат обе части равенств и суммы

U2 = kl2 разделим на n:

. . . .

Un = kln , т.к. , то:

, или , следовательно:

Средняя квадратичная погрешность произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на среднюю квадратичную погрешность аргумента.

Пример: дальномером измерено расстояние 80 м (коэффициент дальномера – постоянная К = 100, средняя квадратичная погрешность ml дальномерного отсчета l по рейке: ml = 2 мм. Погрешность mD измерения дальномерного расстояния D равна:

mD = Kml; mD = 1000.002м = 0.2 м

Относительная погрешность измерения дальномерного расстояния:

.

Функция вида U = l1 + l2, где l1 + l2 независимые слагаемые со случайными погрешностями l1 и l2 , тогда и сумма U будет содержать погрешность

U = l1 + l2.

Если каждую величину слагаемого измеряли n раз, то:

U1 = l1 + l2

U2 = l1 + l2

. . . . . . .

Un = l1n + l2n.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на число n:

Второй член правой части равенства, при неограниченном числе измерений, стремится к нулю, тогда:

, или:

:

Средняя квадратичная погрешность суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратичных погрешностей слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую среднюю квадратичную погрешность:

ml1 = ml1 = m, то: , ,

Пример: Углы  и  измерены со средними квадратичными погрешностями

m = 3, m = 4. Определить среднюю квадратичную погрешность m суммы этих углов

, .

Функция вида U = l1l2. Рассуждая точно так же, как и в предыдущем случае, имеем:

U = l1 + l2, ,

откуда: и

Средняя квадратичная погрешность разности двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратичных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Пример: Определить среднюю квадратичную погрешность угла  из полуприема, полученного как разность двух направлений n1 и n2, если средняя квадратичная погрешность одного направления m = 15:

, .

Функция вида U = l1 - l2 + l3

Обозначим l = l1 - l2, тогда U = l + l3, откуда: m2U = m2l + m2l3,

т.к. m2l = m2l1 + m2l2, то m2U = m2l1 + m2l2,+ m2l3. Аналогично для любого числа слагаемых:

U = l1 + l2 + l3 + . .. + ln

m2U = m2l1 + m2l2,+ m2l3+ . . . + m2ln, или :

Средняя квадратичная погрешность алгебраической суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратичных погрешностей всех слагаемых.

Пример: в треугольнике углы  и  измерены со средними квадратичными погрешностями m = 3, m = 5. Определить среднюю квадратичную погрешность третьего угла:

 = 180  ( + ). ,

Линейная функция вида U = k1l1 + k2l2 +…+ knln , здесь: k1, k2…kn - постоянные коэффициенты, l1, l2 …ln  независимые величины (аргументы), определенные со средними квадратичными погрешностями

ml1, ml2, …, mln.

Примем: t1 = k1l1, t2 = k2l2 … tn = knln.

Известно, что: mt1 = k1ml1, k2ml2, … knmln.

Подставляя t1, t2… tn в исходную функцию получим:

U = t1+ t2+… tn ,

т.к. квадрат средней квадратичной погрешности суммы n измеренных величин равен

m2U = m2t1 + m2t2+ … + m2tn , но:

t1 = k1l1, t2 = k2l2 … tn = knln , поэтому:

m2U = (k1ml1)2 + (k2ml2)2 + … + (knmln)2 , или:

:

Средняя квадратичная погрешность алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на среднюю квадратичную погрешность соответствующего аргумента.

Пример: определить среднюю квадратичную погрешность функции:

:

.

Функция общего вида U = f ( l1, l2, . . ., ln ),

аргументы могут быть заданы любыми уравнениями.

Для определения средней квадратичной ошибки такой сложной функции необходимо:

  1. Найти полный дифференциал функции

, где:

частные производные функции по каждому из аргументов;

  1. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих средних квадратичных погрешностей, возводя в квадрат коэффициенты (частные производные) при этих дифференциалах, т.е.

;

3. Вычислить значения частных производных по измеренным значениям аргументов

и тогда:

Средняя квадратичная погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратичную погрешность соответствующего аргумента.

Пример: Определить среднюю квадратичную погрешность mP площади P прямоугольника, если его сторона а = 36.62 м измерена с погрешностью ma = 0.01 м и сторона b = 52.37 м с погрешностью mb = 0.02 м; т.к. P = ab, то: ,

Пример: Определить СКП расстояния, вычисленного по формуле

, если mx = my = 0.1 м,

.

Решение:

;

;

;;

;

;

;;.

Пример: При тригонометрическом нивелировании были получены: расстояние

, угол наклона при наведении на верх рейки , высота прибора, высота рейки. Вычислить превышение и его предельную СКП. Решение:

;

; ;;

; ;;;

; ;.