2. Оценка точности результатов по разностям двойных измерений

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют два раза: Линии теодолитного хода мерной лентой в прямом и обратном направлениях. Углов – теодолитом двумя полуприемами. Превышений – нивелиром по черной и красной сторонам реек т. д.

Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой такой паре, т.е. меньше разность между одним и другим измерениями.

Допустим, имеется несколько пар измерений:

всего n пар измерений. Для каждой пары можно найти разности результатов измерений

. . . . .

При точных измерениях каждая из этих разностей должна быть равной нулю. Отклонение разности от нуля есть истинная погрешность разности. Тогда m_d одной разности:

, где:

n – количество разностей.

Поскольку каждая разность получена как

, то , а т. к., то, или.

Отсюда , подставим значение, тогда:

,

из результатов двойных измерений обычно берут среднее значение

,

тогда согласно формуле найдем:

; формула Гаусса:

Средняя истинная квадратичная погрешность вероятнейшего значения пар изме-рений равна 0.5 корня квадратного из дроби, в числителе которой сумма квадратов разностей пар измерений, а в знаменателе – количество пар измерений.

Для вычисления вероятнейших погрешностей используют формулы Бесселя:

, ,

Таблица – 1. Пример вычислить СКП измерения горизонтального угла по разностям двойных измерений

КЛ	КП	d	d2
8330’14”	8330’10”	4”	16”
05”	00”	5”	25”
02”	05”	-3”	9”
03”	08”	-5”	25”
		1”	75”

, СКП одной пары измерений.

; , СКП одного измерения.

, , СКП вероятнейшего значения из всех пар измерений.

9.3. Оценка точности измерений по невязкам в полигонах и ходах

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию (например, сумма внутренних углов треугольника должна быть равна 180), то точность измерений можно определить по невязкам, получающимся в результате измерений.

Например, в результате измерения углов в N полигонах (или ходах) с числом углов n₁, n₂, . . n_N получены невязки

f₁, f₂, . . f_N, определить СКП измерения одного угла:

Для ряда неравноточных измерений СКП измерения с весом единица

, заменив в этой формуле обозначения погрешностей 

на невязки f, а обозначения n на число полигонов (ходов) N, получим

, где p₁, p₂, . . p_N – веса сумм углов в полигонах (ходах).

Вес суммы измеренных углов найдем по формуле .

СКП суммы углов ряда равноточных измерений можно вычислить по формуле , гдеm – СКП измерения одного угла, n – количество углов. Тогда

, примем вес результата измерения одного угла равным 1, т. е. , откуда С =m². При таком значении С, формула примет вид . Подставив это выражение веса в первоначальную формулу и имея в виду, что в этом случае величина будет равна средней квадратичной погрешности одного угла, получим:

Таблица – 2. Пример вычислений оценки точности измерений по невязкам в полигонах и ходах

NN полигонов	Число углов в поли- гоне	Невя- зки f	f 2		Формулы и вычисления
1	8	+0.5	0.25	0.03	контроль:
2	18	-1.4	1.96	0.11
3	16	+0.4	0.16	0.01
	42		2.37	0.15