Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
141
Трехмерная область Ω называется поверхностно од-
Ω
Ω
,,PQR
.Ω
,
L
Pdx Qdy Rdz++
∫
L
Pdx Qdy Rdz++
∫
( )
,,xyz∀ ∈Ω
,,.
PQQRRP
y xz yx z
∂∂∂∂∂∂
= = =
∂ ∂∂ ∂∂ ∂
cos , cos ,
L
Pdx Qdy Rdz dx ds dy ds++== α= β
∫
( )
cos cos cos cos
L
dz ds P Q R ds= γ = α+ β+ γ
∫
cos ,cos ,cosαβγ
носвязной, если на любой простой кусочно-гладкий
контур, принадлежащий
ность, целиком лежащую в
Примеры.
Односвязная область: шар, эллипсоид.
Не односвязная область: тор.
Теорема. Пусть функции
со своими производными в поверхностно односвязной
области
1) Криволинейный интеграл 2-го рода
взятый по любому замкнутому контуру равен нулю.
2) Криволинейный интеграл 2-го рода
не зависит от линии интегрирования.
Тогда равносильны утверждения:
, можно натянуть поверх-
.
непрерывны вместе
3)
14.7. Связь криволинейных интегралов
1-го и 2-го рода
где
ра L.
– направляющие косинусы конту-
,
142
15. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
( )
,,F xyz
( )
,z f xy=
( )
,f xy
D
xOy
max 0
k
d →
( )
( )
max 0
1
lim , , , ,
k
n
kkk k
d
k
S
F S F x y z dS
→
=
ξης ∆ =
∑
∫∫
k
S∆
( )
,,
kkk
ξης
k
d
( )
,,F xyz
S
S
( )
S
D
S
S
+
( )
,,F xyz
Пусть
– гладкая поверхность S, где
дана в некоторой области
ностным интегралом I рода называется предел инте-
гральной суммы при условии, что
– непрерывная функция и
за-
плоскости
. Поверх-
:
,
где
точка
диаметр этого элемента,
дой точке поверхности
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности
грирование.
Поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
Рассмотрим двустороннюю поверхность
на ней определенную сторону
определена в точках данной поверхности. Предел
– площадь k-го элемента поверхности S,
принадлежит этому элементу,
определена в каж-
.
, по которой производится инте-
,,
F x y z dS =
∫∫
= ++
F x y f x y dxdy
,, , 1 .
( )
( )
∫∫
2
∂∂
zz
∂∂
xy
. Функция
–
2
и выберем
143
интегральной суммы
1
n
k
=
( )
,
k
П xy∆
xOy
S
k
S∆
max 0
k
d →
S
n
( )
( )
,,Q xyz
( )
S
( )
cos ; cos ;cosn = αβγ
++=
∫∫
( )
∫∫
S
−
,, ,
F П xy
ξης ∆
( )
∑
kkk k
( )
, где
– проекция на плоскость
та поверхности
вии
лом II рода, распространенным на выбранную сторону
поверхности
I F x y z dxdy F П xy
= = ξης ∆
( )
∫∫
+
S
Если
функции и
рактеризуемая направлением нормали
то соответствующий поверхностный интеграл II рода выражается так:
При переходе на другую сторону
этот интеграл меняет знак на противоположный.
, имеющего площадь
называется поверхностным интегра-
, и обозначается символом
, , lim , , ,
,
,,P xyz
+
– сторона гладкой поверхности S, ха-
+
S
P Q R dS= α+ β+ λ
S
→∞
n
Pdydz Qdxdz Rdxdy
cos cos cos
∑
k
1
=
,
( )
,,R xyz
k-го элемен-
, при усло-
kkk k
– непрерывные
,
.
поверхности
( )
.
144
Если поверхность S задана уравнением в неявном
( )
,, 0Ф xyz =
2
22
cos
Ф
x
ФФФ
xyz
∂
∂
α=
∂∂∂
± ++
∂∂∂
2
22
cos
Ф
y
ФФФ
xyz
∂
∂
β=
∂∂∂
± ++
∂∂∂
2
22
cos
Ф
z
ФФФ
xyz
∂
∂
γ=
∂∂∂
± ++
∂∂∂
( ) ( ) ( )
( )
( )
,,r xyz
( )
,, ,uxyz C C=
виде
ли этой поверхности определяются по формулам
где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности.
16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
16.1.Скалярное поле
Определение. Скалярное поле определяется скалярной
функцией точки
– точка пространства,
,,M xyz
вектор.
Поверхности уровня
, то направляющие косинусы норма-
,,u uM u xyz ur= = =
– const.
,
,
,
, где
– ее радиус-
145
Линии уровня плоского скалярного поля
( )
,,uxy C C=
∇
i jk
xyz
∂∂∂
∇= + +
∂∂∂
uuu
ui jk
xyz
∂∂∂
=++
∂∂∂
graduu= ∇
( )
( )
grad grad graduv u v+= +
( )
grad grad graduv v u u v= +
grad grad
u v uu v
v
−
( ) ( )
′
′
1
grad
z
u uu
ue e e
z
ρϕ
∂ ∂∂
=++
∂ρ ρ ∂ϕ ∂
11
grad
sin
uu u
ue e e
ρθ ϕ
∂∂ ∂
=++
∂ρ ρ ∂θ ρ θ ∂ϕ
– const.
Оператор Гамильтона (линейный дифференциальный
оператор
Градиент. Градиент скалярного поля – вектор
Свойства градиента
grad 0,c c const= −
grad grad ,cu c u c const= −
grad
(набла)):
,
.
,
.
,
,
,
grad
grad gradfu f u u
grad grad
grad /r rr
Градиент скалярного поля в цилиндрических коорди-
натах
Градиент скалярного поля в сферических координатах
=
v
=
nn
u nu u
1
−
=
=
.
2
,
,
,
.
.
146
Производная скалярного поля u по направлению
( )
= αβγ
cos cos cos
uu u u
xyz
l
∂∂ ∂ ∂
= α+ β+ γ
∂∂∂
∂
( )
u
l
∂
max
grad
u
u
l
∂
=
∂
l
gradu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,, ,, ,,F F M F r Pxyzi Q xyz j Rxyzk===++
( )
( )
PQR
PQR
FF
=++=∇
div 0,c c const= −
div 3r =
( )
( )
cos ; cos ;cosl
,
grad grad cos grad ,
= ⋅=
∂
16.2. Векторное поле
Определение. Векторное поле определяется векторной
функцией точки
где
радиус-вектор.
Векторная линия (силовая линия, линия тока) поля –
решение системы
Дивергенция (расходимость) векторного поля
Свойства дивергенции
div div divFF F F+= +
div div ,cF c F c const= −
ul u ul
( )
, если
– точка пространства;
,,M xyz
dx dy dz
= =
div
,
12 1 2
имеет направление
∂∂∂
xyz
∂∂∂
,
,
.
.
.
– ее
,,r xyz=
.
,
147
( )
div div graduF u F F u= +⋅
( )
div grad ,uc c u c const=⋅−
F
∂
F
ρθ
∂
Fi jk
rot ,
i jk
FF
xyz
PQR
∂∂∂
=∇=
∂∂∂
rot 0,c c const= −
rot 0r =
( )
( )
12 2 1 1 2
div , rot rotFF F F F F
= −
Дивергенция векторного поля в цилиндрических ко-
ординатах
Дивергенция векторного поля в сферических координатах
div sin sin
FF F
Ротор (вихрь) векторного поля
=− +− +−
rot
или в символическом виде
Свойства ротора
div
1
= ρ θ +ρ θ +ρ
2
sin
ρθ
∂∂ ∂∂ ∂ ∂
RQ PR QP
∂∂ ∂∂ ∂∂
yz zx xy
1
FF
= ρ + +ρ
ρ ∂ρ ∂ϕ ∂
∂∂
( )
∂ρ ∂ϕ ∂ϕ
,
,
,
∂
( )
2
,
ϕ
ρ
( )
F
∂
z
.
z
ϕ
.
rot rot rotFF F F+= +
12 1 2
rot rot grad ,uF u F u F
= +
,
,
.
148
Поток векторного поля
( )
( )
cos ; cos ;cosn = αβγ
( )
n
SS
П F n dS F dS=⋅= =
∫∫ ∫∫
( )
cos cos cos
S
P Q R dS= α+ β+ γ =
∫∫
S
Pdydz Qdxdz Rdxdy= ++
∫∫
n
F
F
n
S
( )
( )
,xy D∈
( )
D
=−−
( )
−+
( )
,r r uv=
( )
G
в сторону, определяемую единичным вектором нормали
,
через поверхность S
FM
,
где
вектора
Если поверхность
можно вычислить по формуле
Если уравнение поверхности S есть
– величина проекции вектора
.
задана уравнением
, поток через верхнюю сторону поверхности
,
f xy
∂
П P xy f xy
∫∫
,
f xy
∂
,uv G∈
П F x u v y u v z u v dudv
Qxyf xy R xyf xy dxdy
( )
y
∂
, то
= ⋅
( ) ( ) ( )
( )
∫∫
x
∂
,, , ,, ,
( )
,, ,, , ,
,, ,
( )
( )
на направление
( )
( )
∂∂
rr
uv
∂∂
,z f xy=
,
.
149
Линейный интеграл от вектора
F
s
ll l
Fdr F ds Pdx Qdy Rdz= = ++
∫∫ ∫
s
F
F
F
l
F
l
l
F dr⋅
∫
lS
RQ
Pdx Qdy Rdz dydz
yz
∂∂
++= − +
∂∂
∫ ∫∫
( )
n
l
VS
)
cosSR dS Pdydz Qdzdy Rdxdy+ γ= + +
∫∫
где
– проекция вектора
нейный интеграл выражает работу векторного поля
вдоль линии
Циркуляция векторного поля
линейный интеграл вдоль замкнутой линии
Формула Стокса
или в векторной форме
– единичный вектор нормали к поверхности S,
где
направление которого таково, что при обходе контура
поверхность S остается слева.
Формула Остроградского
∫∫∫ ∫∫
.
PR QP
∂∂ ∂ ∂
+− +−
zx xy
∂∂ ∂∂
∂∂∂
PQR
+ + = α+ β+
∂∂∂
xyz
dzdx dxdy
F dr n F dS⋅= ⋅
∫ ∫∫
lS
dxdydz P Q
по линии l
,
на касательную к l. Ли-
вдоль контура l –
.
rot
cos cos
(
,
150
или в векторной форме
div
n
VS
FdV F dS=
∫∫∫ ∫∫
V; n
F
gradFu=
u
F
( )
rot 0F
RQ
yz
∂∂
=
∂∂
P RQ P
z xx y
∂ ∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
( )
( ) ( )
( )
0 00
00 0
, , ,, ,,
y
xx
x yx
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz C= + ++
∫ ∫∫
F
div 0F =
222
2
222
xyz
∂∂∂
∆=∇ = + +
∂∂∂
22
22 2
11
2
22
11
sin
sin
∂∂ ∂ ∂
∆= ρ + θ +
∂ρ ∂ρ ∂θ ∂θ
ρ ρθ
, где S –
внешняя сторона поверхности, ограничивающей тело
– единичный вектор внешней нормали к ней.
Векторное поле
Функция
называется потенциалом векторного поля
. Поле
– потенциальное, если
потенциально в поверхностно
,,F PQR=
односвязной области тогда и только тогда, когда
.
или
=
,
,
= =
. Потенци-
ал в этом случае можно найти по формуле
,,uxyz =
.
Векторное поле
называется соленоидальным, если
.
Оператор Лапласа
.
Оператор Лапласа в цилиндрических координатах
∆= ρ + +
ρ ∂ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ ∂
.
z
∂∂ ∂ ∂