Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
151
2
22 2
1
sin
∂
+
ρ θ ∂ϕ
.
222
222
uuu
[ ]
uu
divrot , 0FF
=∇⋅ ∇ =
2
( )
22 2
2
graddiv
PQR
FF i
xy xz
x
∂∂∂
=∇ ∇⋅ = + + +
∂∂ ∂∂
∂
22
jk
yz
∂∂
( )
( )
FF FF
FF
F Pi Qj Rk∆ =∆ +∆ +∆
x
( )
yx
y
′
Уравнение Лапласа
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.
Операции второго порядка
rot grad , 0
+ ++ + ++
rot rot , ,
где
17. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
17.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
17.1.1. Общие понятия. Теорема существования
Определение. Дифференциальным уравнением 1-го по-
рядка называется уравнение, связывающее независимую
переменную
= ∇∇ =
divgrad u u uu=∇⋅∇ =∇ = ∆
222 222
PQR PQR
∂∂∂ ∂∂∂
xy yz xz yz
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
= ∇ ∇ =∇⋅ ∇⋅ − ∇⋅∇ =
= −∆
функцию
∂∂∂
u
∆= + + =
xyz
∂∂∂
,
graddiv
.
,
и ее производную
.
0
,
,
,
.
152
Дифференциальные уравнения для функции одной
( )
,, 0F xyy′=
( )
yy
′
=
x
yy
′
= −
x
y Ce−=
( )
,y f xy
′
=
( )
C
( )
00
,xy
0
0
x
yy=
( )
′
( )
0
0 00
()
x
y y yx y= =
переменной называются обыкновенными.
Общий вид дифференциального уравнения 1-го по-
рядка
Определение. Решением дифференциального уравне-
ния называется функция, которая при подстановке ее
вместе с производной в это уравнение,
превращает его в тождество.
Примеры: 1)
вольная постоянная.
2)
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
имеет бесчисленное множество решений, которые
обычно определяются формулой
щей одну произвольную постоянную. Такое множество
решений называют общим решением дифференциального уравнения. Придавая
мые) значения, получим частное решение.
При решении конкретных задач нас будет интересовать частное решение, определяемое начальным условием. Обычно начальное условие задается парой значе-
ний
Задача отыскания частного решения дифференциаль-
ного уравнения при начальном условии называется за-
дачей Коши.
Теорема Коши о существовании и единственности решения
Пусть дано дифференциальное уравнение
начальное условие
. Решение
или
′
или
. Решение
=
.
.
,y f xy
y Ce=
.
определенные (допусти-
, где C – произ-
, содержа-
,y xC= ϕ
,y f xy
=
. Если функция
и
153
( )
и ее частная производная
( )
00
,Px y
( )
00
x hx h−+
( )
y yx=
( )
00
yx y=
( )
,y xC= ϕ
( )
00
,xy
C
2yx
′
=
2
yx C
O
y
x
0
x
y
x
,f xy
крытой области, содержащей точку
статочно малом интервале
ние имеет единственное решение
ряющее заданному начальному условию
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общее решение – семейство интегральных кривых.
fy∂
непрерывны в от-
∂
, то в до-
,
это уравне-
, удовлетво-
.
Чтобы отыскать частное решение, нужно в общее ре-
шение
уравнение относительно
Пример: Дифференциальное уравнение
щее решение
подставить
= +
.
.
и разрешить
. Об-
154
Начальное условие
12xy=
C: 21C= +
1C =
( )
,, 0F xyC =
( ) ( )
f y dy g x dx=
( ) ( )
f y dy g x dx C= +
∫∫
0
yy
00
yx
∫∫
3
2 32 2
3 2. ,y dy xdx y x C y x C= =+=+
. Подставим начальное
=
условие в общее решение дифференциального уравнения. Получим алгебраическое уравнение для определения произвольной постоянной
Следовательно
. Частным решением дифференци-
.
ального уравнения, удовлетворяющим начальному
2
условию будет
.
1yx= +
Общее решение дифференциального уравнения не
обязательно должно быть получено в явном виде,
также является общим решением диффе-
ренциального уравнения.
17.1.2. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
Проинтегрировав, получим общее решение
.
Если
, то получим частное решение
=
0
x
y
f y dy g x dx=
( ) ( )
x
.
Пример:
Определение. Дифференциальные уравнения, в кото-
рых переменные можно разделить посредством умножения или деления обеих частей уравнения на одно и
.
155
то же выражение, называются дифференциальными
( )
( ) ( )
g y dy f x dx C= +
∫∫
( ) ( ) (
) ( )
0,P x Q y dy M x N y dx+=
( )
( )
( )
( )
Qy Mx
dy dx C
Ny Px
+=
∫∫
( )
( )
2
1 10x y dx x ydy+ −+ =
xy
−=⇒
( )
11
21
( )
1
2
11
=++
1y +
1y = −
0C =
уравнениями с разделяющимися переменными:
fx
dy
1)
=
dx g y
2)
Внимание! Может произойти потеря частного реше-
ния.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение
Решение. Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение
( )
,
dx dy
2
1
x
+
1
y
+
.
.
.
0
2
ln 1 1 ln
x dy C
2
ln 1 ln 1 ln
x yy C+ −+ += ⇒
При делении на
ние
, но оно содержится в общем интеграле, если
.
+− − = ⇒
∫
мы могли потерять частное реше-
+
y
y
Ce y x
( )
2
.
156
17.1.3. Физические задачи, приводящие
0
0t =
0
MM=
dM
kM
dt
= −
( )
0k >
dM
M
ln lnM kt C=−+
kt
M Ce−=
0t
MM
0
CM=
0
kt
−
T
2
M
2
kT
e
ln 2
Tk=
T
c
T
0
0
0t
TT
=
=
( )
c
dT
kT T
dt
=−−
( )
c
( )
ln ln
c
T T kt C− =−+
( )
c
TT>
kt
c
T T Ce
−
= +
к дифференциальным уравнениям
Нет общего метода составления дифференциальных уравнений. Каждая задача требует своего подхода и знания законов физики.
1) Радиоактивный распад. Экспериментально уста-
новлено, что скорость распада пропорциональна количеству не распавшегося вещества. Определить период
полураспада вещества, если в момент
на
.
масса рав-
Решение.
,
,
Период полураспада
= ⇒
,
,
=
0
=
= −
kdt
,
,
M Me
. Тогда
. (k – определяется эксперимен-
тально).
2) Охлаждение тела. Скорость охлаждения тела про-
порциональна разности между температурой тела
температурой окружающей среды
. Найти формулу
для расчета температуры тела, если
Решение.
,
,
0k >
dT
.
TT
.
−
=
0
−
Me
= ⇒
0
.
kdt
= −
,
.
kT
и
,
,
157
0
0t
TT
=
=
:
0 c
TTC= +
0 c
CT T= −
( )
0
kt
cc
T T T Te
−
=+−
( )
,y f xy
′
=
( )
,f xy
( )
,
y
f xy
x
= ϕ
( ) ( )
20
yy
xx
x
( )
m
,,
m
( )
( ) ( ) ( )
22
( ) ( )
2
,,f x y f xyλλ =λ
,
.
Окончательно
17.1.4. Однородные дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение
называется однородным, если функция
быть представлена, как функция отношения своих ар-
гументов
Пример.
Решение.
Функция
измерения
Примеры: 1)
ности:
2)
, 45
( )
22
xy y dx x xy dy− −− =
,f xy
, если
,4 4 ,f x y x y x y f xyλ λ = λ +λ =λ + =λ
.
dy xy y
dx
называется однородной функцией
f x y f xyλλ =λ
,4f xy x y= +
−
= =
2
2
x xy
−
( ) ( )
– 2-й порядок однородности:
.
может
.
2
−
2
.
y
12
−
.
– 1-й порядок однород-
.
.
158
3)
22
xy
( ) ( ) ( )
0
, ,,f x y f xy f xyλλ =λ =
( )
2
22
2
22
2
1
,
y
xy y
x
f xy
x
xy y y y
x
x
−
−
= = = ϕ
+
+
x
y tx=
( )
( )
y tx t
′′
= +
( )
′
( )
′
=ϕ−
dt dx
tt x
( )
lndtxC
tt
= +
ϕ−
∫
t
y tx=
( )
, lnF xy x C= +
( )
0ttϕ −≠
( )
y
x
(просто однородная функция):
Пример приведения функции:
Введем вспомогательную функцию
,
f xy
( )
=
2
x xy
−
– нулевой порядок однородности
7
+
.
tx
( )
.
y
=
или
,
ϕ−
( )
.
к
′
.
Дифференциальное уравнение
– однородная функция нулевого измерения,
,f xy
можно преобразовать к уравнению с разделяющимися
переменными. Действительно,
Тогда
Вычислив интеграл, и перейдя от
Если
tx t t
+=ϕ
,
tx t t
. Предполагается, что
′
=⇒= ⇒ = ⇒ =
0
t t C C y Cx
, то
0ttϕ −≡
=
=
, получим
,y f xy
,
, где
.
.
159
Пример:
2
y tx=
2
12
tt
tx t
t
−
′
+=
−
22
11
12 12
dt t t t
t
dx x t x t
−
=⋅ −=⋅
−−
t
1
2ln ln
C
t
tx
+=
1
2
ln ln
t
C
et
x
=
1
x
2
x
y
y
eC
x
=
0,aB bA−≠
{
′
y
xy y
=
2
x xy
−
.
2
−
Решение.
12t dx
Тогда
−
,
dt
2
. Проинтегрировав, получим
=
x
или
C
2
t
Окончательно
te
= или
17.1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
=
ax by c
Ax By C
′
yf
Рассмотрим два случая.
1) Если
производят замену переменных
x xx
= −
y yy
= −
,
++
++
,
0
,
0
.
.
.
.
160
где
00
,xy
{
00
,.
cB bC aC cA
xy
aB bA aB bA
−−
=−=−
−−
0,aB bA−=
{
( ) ( )
′
+=
y
,y
′
( ) ( )
.y pxy qx
′
+=
( )
0.y pxy
′
+=
=−⇒
ских уравнений
В результате дифференциальное уравнение сводится к однородному уравнению.
2) Если
В результате дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
17.1.6. Линейные дифференциальные уравнения.
Уравнение Бернулли
Определение. Дифференциальное уравнение вида
вестной функции
линейным неоднородным дифференциальным уравне-
нием.
Для решения такого типа уравнений рассмотрим два
метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
циальное уравнение
с разделяющимися переменными
находятся из решения системы алгебраиче-
ax by c
+ +=
Ax By C
+ +=
0,
0,
производят замену переменных
,
xx
=
y ax by
= +
т. е. линейное относительно неиз-
,y pxy qx
и ее производной
Рассмотрим однородное дифферен-
.
Это уравнение
dy
y
называется
p x dx
( )