Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
271
14.6. Криволинейные интегралы 2-го рода
по пространственным линиям ..................................... 140
14.7. Связь криволинейных интегралов
1-го и 2-го рода .............................................................. 141
15. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ...................... 142
16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ............................... 144
16.1.Скалярное поле ..................................................... 144
16.2. Векторное поле ..................................................... 146
17. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ................................................................ 151
17.1. Дифференциальные уравнения
1-го порядка ................................................................... 151
17.1.1. Общие понятия. Теорема существования ....... 151
17.1.2. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными ................................ 154
17.1.3. Физические задачи, приводящие
к дифференциальным уравнениям .............................. 156
17.1.4. Однородные дифференциальные
уравнения ....................................................................... 157
17.1.5. Дифференциальные уравнения,
приводящиеся к однородным ...................................... 159
17.1.6. Линейные дифференциальные уравнения.
Уравнение Бернулли ..................................................... 160
17.1.7 Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах ............................................................ 164
17.2. Дифференциальные уравнения высших
порядков ......................................................................... 167
17.2.1. Дифференциальные уравнения
2-го порядка ................................................................... 167
17.2.2. Частные случаи дифференциальных
уравнений 2-го порядка, допускающие
понижение порядка ....................................................... 170
272
17.2.3. Дифференциальные уравнения высших
n
n
порядков, допускающие понижение порядка ............. 171
17.2.4. Дифференциальные уравнения
высших порядков .......................................................... 172
17.3. Линейные дифференциальные уравнения ......... 173
17.3.1. Линейные дифференциальные
уравнения 2-го порядка ................................................ 173
17.3.2. Однородные линейные
дифференциальные уравнения 2-го порядка .............. 174
17.3.3. Неоднородные линейные
дифференциальные уравнения 2-го порядка .............. 175
17.3.4. Однородные дифференциальные
уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами ........................................................... 175
уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами ........................................................... 177
17.3.6. Метод вариации произвольных
постоянных .................................................................... 184
17.3.7. Линейные дифференциальные уравнения
-го порядка ................................................................. 186
17.3.8. Линейные дифференциальные уравнения
-го порядка с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида ........................... 189
17.4. Системы дифференциальных уравнений ........... 191
17.4.1. Общие определения. Нормальные
системы дифференциальных уравнений ..................... 191
17.4.2. Системы линейных дифференциальных
уравнений ...................................................................... 194
17.4.3. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами .............. 196
273
17.4.4. Случай кратных корней
характеристического уравнения .................................. 201
17.4.5. Матричная форма записи однородной
системы дифференциальных уравнений ..................... 204
18. РЯДЫ ....................................................................... 206
18.1. Числовые ряды ..................................................... 206
18.1.1. Определение ряда и его суммы ........................ 206
18.1.2. Необходимый признак сходимости ряда.
Гармонический ряд ....................................................... 208
18.1.3. Ряды с положительными членами.
Достаточные признаки сходимости ряда .................... 210
18.1.3.1. Признаки сравнения ....................................... 210
18.1.3.2. Признак д’Аламбера ...................................... 212
18.1.3.3. Радикальный признак Коши ......................... 212
18.1.3.4. Интегральный признак Коши ....................... 213
18.1.3.5. Степенной признак ........................................ 215
18.1.3.6. Признак Абеля ................................................ 215
18.1.3.7. Признак Дирихле ........................................... 215
18.1.3.8. Признак Раабе................................................. 215
18.1.3.9. Признак Гаусса ............................................... 215
18.1.4. Знакопеременные ряды .................................... 216
18.1.5. Знакочередующиеся ряды ................................ 217
18.1.6. Некоторые ряды ................................................ 218
18.2. Функциональные ряды ........................................ 218
18.2.1. Общие определения .......................................... 218
18.2.2. Равномерная сходимость
функциональных рядов ................................................ 219
18.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов........ 220
18.3. Степенные ряды ................................................... 222
274
18.3.1. Теорема Абеля.
( )
x
fx e=
( )
( )
cosfx x=
( ) ( )
( )
Интервал и радиус сходимости ................................... 222
18.3.2. Свойства степенных рядов ............................... 226
18.4. Разложение функций в степенные ряды ............ 228
18.4.1. Ряд Тейлора ....................................................... 228
18.4.2. Условие разложимости функций
в ряд Тейлора ................................................................. 229
18.4.3. Остаточный член ряда Тейлора ....................... 230
18.4.4. Разложение функций в ряды Тейлора
и Маклорена .................................................................. 232
18.4.4.1. Разложение функции
в ряд Маклорена ............................................................ 232
18.4.4.2. Разложение функции
в ряд Маклорена ............................................................ 233
18.4.4.3. Разложение функции
в ряд Маклорена ............................................................ 233
18.4.4.4. Биномиальный ряд ......................................... 233
18.4.4.5. Разложение функции
в ряд Маклорена ............................................................ 234
18.4.4.6. Разложение функции
в ряд Маклорена ............................................................ 234
18.4.4.7. Примеры ......................................................... 234
18.4.5. Приближенное вычисление значений
функций ......................................................................... 235
18.4.6. Интегрирование функций ................................. 237
19. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ........................ 238
19.1. Ряд Фурье в действительной форме ................... 238
19.2. Ряд Фурье в комплексной форме ........................ 240
sinfx x=
ln 1fx x= +
arctgfx x=
275
19.3 Интеграл Фурье ..................................................... 241
20. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП) ............ 242
20.1. Комплексные числа и операции над ними ......... 242
20.2. Элементарные функции комплексного
переменного................................................................... 245
20.3. Дифференцирование ФКП.
Аналитические функции .............................................. 247
20.4. Интегрирование ФКП.
Интегральные формулы Коши ..................................... 248
20.5. Ряды в комплексной области .............................. 250
20.6. Вычеты ФКП в изолированных
особых точках ............................................................... 252
20.7. Вычисление некоторых действительных
интегралов с помощью вычетов .................................. 254
21. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ...................... 255
21.1. Основные свойства оригиналов
и изображений ............................................................... 255
21.2. Отыскание оригинала по изображению ............. 261
21.3. Дифференциальные уравнения и системы.
Решение операторным методом .................................. 263
276
Бутырин Владимир Иванович
Веричев Станислав Николаевич
Недогибченко Галина Васильевна
Шварц Эдуард Берешович
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие
В авторской редакции
Подписано в печать 03.06.2016. Формат 60 × 84 1/32.
Бумага офсетная. Тираж 300 экз. Уч.-изд. л. 8,02. Печ. л. 8,62.
Новосибирского государственного технического университета
Изд. № 143. Заказ № 868. Цена договорная
Отпечатано в типографии
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20