Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие

51

а) Если функции

( ) ( )

,xxαβ

0

xx→

( )

0

lim 1,

xx

x

→



α

=



β



0

xx→

( )

0

.xx→

( ) ( )

,xxαβ

0

xx→

( )

 

 

( )

xβ

( )

oxβ

0

.xx→

( )

0

α=

0

xx→

( )

tg xα

( )

arctg xα

( )

xα

11

( )

1

xnα

( )

ln 1 x+α

( )

xα

0x →

sin x

tg x

1 cos x−

2

/2x, arcsin x

arctg x

1

x

e −

sh x

ch 1x −

2

/2x

1

a

lnxa

– бесконечно малые

xα

lim 0,

xx

→

~

~x,

и

~

и

~

xα

~

при

xβ

lim 0,

xx

→

0

x

,

arcsin xα

,

.

~

~x,

α

β

n

x x

( )

при

то при

при

вивалентными при ными.

Пишут б) Если функции

при

является бесконечно малой более высокого порядка ма- лости по сравнению с функцией

Пишут

в) Если

sin xα

Некоторые эквивалентности (при

~x,

то они называются эк-

или асимптотически рав-

– бесконечно малые

то говорят, что

=

.

справедливо:

~

( )

~

x+α −

xα

~

~x,

,

x

−

~

,

):

~

~x,

,

xα

,

52

( )

ln 1 x+

~x,



++

 

11

+−

!n

( )

2/

n

nneπ

n →∞

0

xx→

( )

xα

( )

1

xα

( )

xβ

( )

1

xβ

( )

00

xx

→→

αα ββ

( )

y fx=

0

x

( )

0

;x Df∈

( )

lim ;

fx

∃

( )

0

lim .

xx

fx fx

→

=

( )

y fx=

( )

Df

0

x

ln 1xx

2

~x,

x

( )

a

~ax.

Формула Стирлинга:

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им

функций, т. е. если при

~

, то

lim lim .

xx xx

( )

~

=

~

1 1

( )

при

.

,

6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

6.1. Непрерывность функции в точке и на множестве

Функция

рестности точки

1)

3)

Функция множества

множестве.

6.2. Точки разрыва функции и их классификация

Если хотя бы одно из условий п. 6.1. не выполнено, то

– точка разрыва функции.

2)

называется непрерывной в ок-

, если выполняются три условия:

xx

→

0

, непрерывная во всех точках

, называется непрерывной на этом

53

1). Если условие 2) выполнено, но

( )

0

x Df∉

( )

0

lim

xx

fx fx

→

≠

0

x

( )

0

lim 0 ,

xx

fx fx

→−

∃=−

( )

0

lim 0

xx

fx fx

→+

∃=+

( ) ( )

00

0 0,fx fx−≠ +

0

x

( ) ( )

00

00fx fx

+− −

( )

fx

0

.x

0

x

( )

fx

( )

gx

0

,x

( ) ( )

( )

0

/, 0fx gx gx ≠

0

.x

0

x

0

.x

, то в точке

устранимый разрыв.

2). Если условие 2) нарушено, но

или

и да, а разность

в точке

то в точке

разрыв 1-го ро-

– скачок функции

3). Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то в точке

имеем разрыв 2-го рода.

6.3. Действия над непрерывными функциями Теорема. Если функции

точке а)

то:

б)

,fx gx±

в) непрерывны в точке

и

непрерывны в

,fx gx⋅

Теорема. Сложная функция, являющаяся композицией конечного числа непрерывных в точке

непрерывна в точке

функций,

Теорема. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области определения.

54

6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

( )

fx

[ ]

,,

( )

fx

[ ]

( )

fx

[ ]

( )

.fb B=

:CAC B∀ ≤≤

[ ]

( )

:, .c c ab f c C∃∈ ∧ =

( )

fx

[ ]

,,

[ ]

,,

a

Теорема (Вейерштрасса). Если функция рывна на отрезке

чена и достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема (Больцано-Коши). Если функция прерывна на

разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой значение функции равно нулю. Теорема (о промежуточном значении). Пусть функ-

ция Тогда Функция

отрезке

них точках ного числа точек, в которых эта функция разрыв 1-го

рода или устранимый разрыв и, кроме того, она имеет односторонние пределы в точках

,ab

непрерывна на

если она непрерывна во всех внутрен-

ab

то на этом отрезке она ограни-

ab

и на его концах принимает значения

и

,ab

называется кусочно-непрерывной на

за исключением, быть может, конеч-

и b.

непре-

не-

,fa A=

55

7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

( )

y fx=

0

x

( )

x

( )

0

'yx

0

xx

dy dx

=

( )

dx

( ) ( )

00

'df x f x dx=

0

x dx x x∆= = −

( ) ( ) ( )

00 0

fx fx x fx∆ = +−

0

x

y

α

( )

y fx=

N

x

T

x

0

x

0

y

( )

0

df x

( )

0

fx∆

x∆

ПЕРЕМЕННОЙ

7.1. Производная и дифференциал

Производная функции

' lim

fx

( )

0

Другие обозначения:

=

x

∆→

∆

0

,

в точке

fx

0

∆

,

df x

есть

0

.

дифференциал

где:

точке

Производная – математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией.

.

– приращение аргумента x;

,

– приращение функции в

56

Производная от функции

( )

fx

0

xx=

0

x

( )

x

T

( )

00

:T

( )( )

0 00

'yy fx xx−= −

:N

( )

00

0

1

'

yy xx

fx

−=− −

dy

( )

0

x

( )

00

,Mx fx

( )

y fx=

( ) ( )

( )

00

fx dfx o x∆ = +∆

0

x

( ) ( ) ( )

0 00

fx x fx f x dx

′

+∆ ≈ +

,uv

′′

( )

C

( )

;d C u C du⋅=⋅

′′

±=±

( )

d u v du dv

′′

( )

d u v v du u dv

равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой

tg lim '

k fx

= α= =

Уравнения касательной функции в точке

x

∆→

;xy

0

:

при

(см. рис.):

fx

∆

0

∆

и нормали N к графику

( )

0

численно

.

,

.

Дифференциал

изображается приращением ординаты касательной, проведенной в

этом Заменяя приращение функции в точке

ренциалом, получаем приближенную формулу

7.2. Правила дифференцирования

Пусть существуют

′

I

Cu Cu

( )

II

( )

III

( )

′

=

′

⋅ = ⋅+⋅

функции

. Тогда

const

=

;uv u v

;uv u v uv

y fx=

к линии

.

;

±= ±

⋅ =⋅ +⋅

в точке

ее диффе-

.

;

, при

;

57

v

′

′′



v



( ) ( ) ( )

( )

,,y fu u ux y fux= = =

dy dy du dx du dx

⇒=⋅

( )

x ux

′ ′′

( )

,uvw u vw uv w uvw

′

′′ ′

=++

( )

,d uvw vwdu uwdv uvdw=++

v



2

1

.

dv

d

v



= −

 

1

x

y

x

′

=

′

f

( )

′

CC

xx

( )

1

xx

α α−

′

= α

Rα∈

( )

2

1

tg ;

cosxx

′

=

⋅−⋅

2

;

d

u u v uv



IV



v

V Производная сложной функции:



v

2

⋅ −⋅

u v du u dv



=

.

Следствия:

′

1



= −



v

Производная обратной функции:

Логарифмическая производная функции

7.3. Таблица производных элементарных функций

′

=

( )

1;x′=

( )

y yu

= ⋅

′

v

,

2

ln , 0.

fx fx

( )

– постоянная;

0,

,

.

fx

′

= >

fx

( )

;

( )

sin cos ;

( )

cos sin ;

( )

′

=

′

= −

.

58

( )

2

1/ 1/ ;xx

′

= −

( )

2

1

ctg ;

sinxx

′

= −

( )

1

;

2xx

′

=

( )

2

1

arcsin ;

1xx

′

=

−

( )

;

xx

ee

′

=

( )

2

1

arccos ;

1xx

′

= −

−

( )

ln ;

xx

a aa

′

=

( )

2

1

arctg ;

1

x

′

=

+

( )

1

ln ;x

x

′

=

1xx

+

( )

1

ln ;x

x

′

=

1

x

 



ln

xa

2

1

ln 1 1;

1

xx x

x

′



+−= >





−

( )

sh ch ;xx

′

=

2

11 1

ln ;

21

1

x

′

 +

=



−



( )

ch sh ;xx

′

=

xx

( )

y fx=

( )

,ab

( )

y fx

′′

=

1

′

log ;

( )

7.4. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть водную

=

x

a

′

cth 1/ sh .

( )

= −

дифференцируема на

называют производной первого по-

arcctg ;

( )



ln 1 ;

xx

++=

 

th 1/ ch ;

( )

2

′

= −

′

2

′

2

=

1

2

1

2

+

. Произ-

59

рядка или первой производной функции

( )

y fx=

( )

y fx

′′

=

( )

,ab

( )

y fx=

,y

′′

( )

fx

′′

( )

fx

2

dy

dx

2

df

dx

xx

f

′′

( )

n

fx

nN∈

( )

,ab

( )

1n −

n

( )

(

)

1

,

nn

f x f x nN

−

′

= ∈

( )

0

fx

( )

fx

( )

( )( ) ( )

1 2 ... ,

n

x nx

α α−

=α α− α− α−

( )

a aa

( )

n

xx

ee=

( )

sin sin

2

n

ax a ax

π



= +

 

первая производная

, то ее производную называют второй производ-

ной или производной второго порядка функции

. Для производных второго порядка приняты

обозначения

дифференцируема на

. Если

Аналогично определяются производные рядка изводная порядка

производной порядка

При этом подразумевается равна

При вычислении производных высших порядков часто используются формулы:

n

C =

( )

n

x xn

( )

: если на интервале

.

0,

ln

=

2

,

( )

, то ее производная называется

, т. е. по определению

.

,

существует про-

по определению

.

по-

,

60

( )

cos cos

2

n

ax a ax

π



= +

 

,

1

ln

n

xa

−

1

n

x

−

−−

( )

(

)

( )

( ) ( )( )

1 ... ( 1)

n

ax b a n ax b

α α−

+ = α α− α− − +

{

( )

1

fx

( )

2

fx

n

12

, Rαα∈

( )

( ) ( )

nn

( )

( ) ( )

12 1 2

0

n

nk k

k n

k

ff C f f

−

=

∑

( )

!

!!

k n

n

C

knk

=

−

n

( )

dy dd y

=

1 1!

−−

( ) ( )

n

log , ! 1 2 3 ... 1 !

( )

ln

( )

sh ,

( )

ch .

( )

x n nn n

a

x

= =⋅⋅⋅ ⋅ = − ⋅

1 1!

( ) ( )

n

( )

=

n

sh 2

( )

n

( )

x при n k

=

ch 2 1

x при n k

sh 2 1

x при n k

=

ch 2

x при n k

n

,

=

= − = −

=

( )

,

.

Если функции

порядка

где

Аналогично определяется дифференциал порядка

и

ff f fα +α =α +α

( )

11 2 2 11 22

и

, то

n

– биномиальные коэффициенты.

имеют производные

.

,