Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
Министерство образования и науки
Российской федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
_______________________________________
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2016
2
УДК 51(035.5)
C 741
Рецензенты:
Хаблов В.В., канд. физ.-мат. наук, доцент;
Кузин Г.А., старший преподаватель
Работа подготовлена на кафедре
инженерной математики
C 741 Справочное пособие по высшей математи-
ке: учебное пособие / В.И. Бутырин, С.Н. Веричев, Г.В. Недогибченко, Э.Б. Шварц. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 276 с.
ISBN 978-5-7782-2940-2
Данное учебное пособие предназначено для сту-
дентов НГТУ и включает основные теоремы, леммы
и формулы по высшей математике.
УДК 51(035.5)
ISBN 978-5-7782-2940-2 Бутырин В.И, Веричев С.Н.,
Недогибченко Г.В., Шварц Э.Б., 2016
Новосибирский государственный
технический университет, 2016
3
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
mn×
ij
a
12
m m mn
aa a
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
aa a
aa a
aa a
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
aa a
aa a
aa a
,( ) ,
ij ij m n ij
mn mn
a aa
×
××
()
ij m n
Aa
×
=
()
ij m n
Bb
×
=
()
Aa
=
()
Bb
=
,
ij ij
ija b∀=
nn×
,0
ija∀=
1.1. Матрицы. Основные определения
Числовой матрицей или просто матрицей порядка
(размера, формата)
таблица числовых элементов
называется прямоугольная
, содержащая m строк
и n столбцов. Здесь i – номер строки, j – номер столбца.
Обозначается:
11 12 1
aa a
21 22 2
... ... ... ...
aa a
...
n
...
n
,
,
...
Употребляются и более краткие обозначения:
Матрицу обозначают также одной заглавной бук-
вой
Две матрицы
;
ij m n
и
×
равными, если m=p, n=q и
Матрицу размера
называют квадратной
матрицей n-го порядка.
Если
, то матрицу называют нулевой
ij
(обозначают 0).
.
.
ij p q
.
×
.
называют
4
Элементы
ii
a 1,2,...,min( , )i mn=
ij∀≠
0
a =
ij∀=
0
a ≠
1m×
11
21
1
...
m
a
a
A
a
=
1 n×
11 12 1
( , ... )
n
A aa a=
()
ij m n
Aa
×
=
()
Bb
=
()
C c AB
= = ±
ij ij ij
cab= ±
образуют глав-
ную диагональ матрицы.
Матрица называется диагональной, если все элементы, за исключением элементов главной диагонали,
равны нулю, т.е.
,
ij
.
ij
Матрицу называют верхней трапецевидной (тре-
угольной при m = n) матрицей, если все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю.
Матрицу называют нижней трапецевидной (треугольной при m = n) матрицей, если все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю.
Квадратную диагональную матрицу называют
единичной (обозначают E), если все элементы главной
диагонали равны единице.
Матрица-столбец – это матрица размера
.
Матрица-строка – это матрица размера
1.2. Операции над матрицами
Суммой (разностью) двух матриц
называется матрица
ij m n
×
элементы которой равны
.
и
ij m n
×
,
.
5
Произведением матрицы
()
ij m n
Aa
×
=
()
ij m n
Cc A
×
= = α
ij ij
ca= α
()
ij m k
Aa
×
=
()
Bb
=
()
ij m n
C c AB
×
= =
1
k
l
=
AB BA≠
32
10
46
A
=
( )
123
451
31 24 32 25 33 21
110412053301
41 64 42 65 43 61
C AB
⋅+⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅
= = ⋅+⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅ =
⋅+⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅
11 16 11
123
28 38 18
=
A
()
ij m n
Aa
×
=
Aa a
называется матрица
рой равны
на число α
, элементы кото-
.
Произведением матрицы
называется матрица
ij k n
×
элементы которой равны
c ab
=
∑
ij il lj
на матрицу
(поэлементное
умножение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B и сложение этих произведений). Вообще говоря,
.
Пример:
B =
,
.
Транспонированная матрица
матрицы
TT
:
ij ji
.
=
заменой строк на столбцы
.
T
получается из
,
6
Пример:
12
34
56
A
=
( )
135
246
0α≠
0α≠
~
1 31 1 31
2 5 4 2I~ 0 1 2 ~
3 2 4 3 I 0 11 7 11 I I
A
−−
= − −⋅
−−⋅ −−⋅
( )
131 131
~01 2 ~012
00 29 001
: 29
−−
−
−
( , , det )AA∆
Элементарные преобразования матрицы:
а) Умножение всех элементов строки на число
.
б) Сложение строки с другой строкой, умноженной на число
в) Перестановка строк матрицы.
г) Перечисленные преобразования со столбцами.
Элементарные преобразования приводят данную
матрицу к эквивалентной (
сти).
С помощью элементарных преобразований можно
получить трапецевидную (треугольную при m = n) матрицу.
Пример:
T
,
A =
.
– символ эквивалентно-
.
.
1.3. Определители
Числовая характеристика квадратной числовой
матрицы A – определитель
.
7
Определитель n-го порядка, соответствующий
nn×
12
n n nn
aa a
M
ij
a
A
a
( 1)
ij
ij ij
AM
+
= −
AA
0λ≠
квадратной матрице A размера
:
...
n
...
n
.
...
– это определитель (n–1)-го
DA
= =∆=
det
Минор
элемента
ij
11 12 1
aa a
21 22 2
... ... ... ...
aa a
порядка, полученный из D вычеркиванием i-й строки и
j-го столбца.
Алгебраическое дополнение
элемента
ij
опре-
ij
деляется равенством
.
Рекуррентная формула вычисления определителей
(разложение определителя по элементам строки или
столбца):
++
aA aA i
D
=
aA aA j
... (по элементам -й строки);
11
i i in in
11
... (по элементам -го столбца).
++
j j nj nj
Свойства определителей
1) Определитель сохраняет свое значение, если:
а) заменить строки соответствующими столбцами
T
(транспонирование):
det det( )
=
;
б) к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число
;
в) число перемен местами любых двух строк
(столбцов) является четным.
8
2) Определитель равен нулю, если:
nn×
det( ) det detAB A B= ⋅
nn×
AA A A E
= =
11 21 1
1
12 22 2
12
...
1
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
AA A
AA A
A
AA A
−
=
∆
det 0A∆= ≠
1
det( ) 1/ detAA
−
=
k
mn
A
,km≤
kn≤
2
k
а) одна строка (столбец) состоит из нулей;
б) одна строка (столбец) равна или пропорциональна другой строке (столбцу);
одна строка (столбец) есть линейная комбинация
двух и более строк (столбцов).
3) Общий множитель элементов строки (столбца)
можно вынести за знак определителя.
4) Определитель произведения двух
-матриц
равен произведению определителей этих матриц:
.
1.4. Обратная матрица
Пусть дана квадратная матрица А порядка
1A−
По определению,
11
−−
– обратная матрица к A, если
, где
,
.
причем
(необходимое и достаточ-
ное условие существование обратной матрицы);
.
1.5. Ранг матрицы
Минором
-го порядка матрицы
) называется определитель D, составленный (с
сохранением порядка) из
элементов матрицы, ле-
(
×
9
жащих на пересечении некоторых ее k столбцов и k
A
A
1234
0148
0000
A
=
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
...
...
...........................................
...
nn
nn
n n nn n n
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
0, ( 1,..., )
i
bin= =
i
b
AX B=
12
, ,...,
n
xx x
12
, ,...,
n
bb b
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
aa a
aa a
A
aa a
=
1
2
...
n
x
x
X
x
=
1
2
...
n
b
b
B
b
=
строк.
Ранг матрицы
го от нуля минора матрицы
– наивысший порядок отлично-
.
Ранг матрицы можно получить приведением матрицы к трапецевидному (треугольному) виду.
Пример:
, rangA=2.
1.6. Решение системы n линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными
Общий вид системы n линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными:
У однородной системы все
у неоднородной – хотя бы один свободный член
личен от нуля.
Матричная запись системы имеет вид
где A – матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных; X и B – матрицы-столбцы из неизвестных
и свободных членов
;
,
от-
,
:
;
.
10
Расширенная матрица системы
AA
det 0A ≠
12
... 0
n
xx x= = = =
X AB
=
...
...
...
b
n
1
n
.
...
b
n
aa a
11 12 1
a a ab
21 22 2 2
=
A
... ... ... ...
aa a
12
n n nn
Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна
(имеет решение) тогда и только тогда, если ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной
матрицы.
Обратная теорема. Система несовместна (не имеет
решения), если
rang rang
≠
.
Система имеет единственное решение, если
rang rangA An= =
цы
решений, если
. В этом случае определитель матри-
. Система имеет бесконечное множество
rang rangA An= <
.
В данном пункте рассматривается случай, когда
система имеет единственное решение. Для однородной
системы имеем тривиальное решение:
.
Для неоднородной системы рассмотрим три метода решения:
1. С помощью обратной матрицы.
2. Метод Крамера.
3. Метод Гаусса.
1. Решение системы выражается формулой
1
−
.