Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
81
многочлен степени
( )
nm−
( )
( )
( )
1
k
m
px
Rx
Qx
=
( )
n
Px
( )
Qx
( )
( )
( )
1 11
2
... ... ...
k
l
l
m
px
A
A Mx N
Q x xa
x px q
xa
+
= ++ ++ +
−
++
−
l
i
A
i
M
i
N
( )
( )
( )
2
32
2
2
35
1
1
14
x AB
x
x
xx
+
= ++
+
+
++
+ ++
+++
ная дробь.
Для этого достаточно поделить многочлен
многочлен
Любую правильную дробь можно представить в виде
суммы простейших дробей
– кратность корня a знаменателя.
где
Для определения коэффициентов
пользуются метод неопределенных коэффициентов или
метод частных значений.
Интегрирование дробей этого вида изложено в
предыдущем пункте.
Пример: Представить правильную дробь в виде суммы
.
m
,
– правиль-
,
,
на
,
ис-
простейших дробей
Cx D Ex F Kx M
32
22
44
xx
++
( ) ( )
2
4
x
+
( )
.
82
Метод Остроградского выделения рациональной
( ) ( )
/Px Qx
( )
( )
( )
12
12
Px P x P x
∫∫
( ) ( ) ( )
( )
,;
( ) ( ) ( )
21
/;
( ) ( )
12
( )
1
Px
( )
1
Qx
( )
2
Px
( )
2
Qx
( ) ( )
( )
1
2
1
1 11
... ...,
l
k
Q x x a x px q= − ⋅⋅ + +
( ) ( )
( )
1
1
1
2
1
1 1 11
... ...,
l
k
Q x x a x px q
−
−
= − ⋅⋅ + + ⋅
( ) ( )
( )
2
2 1 11
... ...Q x x a x px q= − ⋅⋅ + + ⋅
( )
sin ,cosR x x dx
∫
2
x
( )
x−π < < π
t
2arctgxt=
2
2
sin
1
t
xt=
+
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
2
21dt
dxt=
+
части интеграла от рациональной функции
Если
где
=
Qx НОД Q x Q x
1
,Px P x
-1); (степень
– правильная дробь, то
dx dx
( )
= +
( )
′
)≤(степени
Q x Qx Q x=
Qx Q x Q x
– многочлены; (степень
( )
,
)≤(степени
– 1).
Если
9.8. Интегрирование тригонометрических
выражений
1) Универсальная тригонометрическая подстановка
Интеграл
ная функция своих аргументов, заменой
сводится к интегрированию рациональной
дроби от аргумента
. При этом
,
, где R – рациональ-
,
,
то
.
.
tg
t=
83
В частных случаях возможны более простые подста-
( )
sin ,cosR xx−=
( )
Rxx
cos xt=
( )
Rx x−=
( )
Rxx
sin xt=
( )
Rxx−− =
( )
sin ,cosRxx
tg xt=
2
sin
1
t
xt=
+
1
1
dt
( )
sh , chR x x dx
∫
2
x
2
2
sh
1
t
xt=
−
2
1
t
2
2
1
dt
dxt=
−
( )
sh , chR xx−=
( )
sh , chRxx−
ch xt=
( )
sh , chRx x−=
( )
sh , chRxx−
sh xt=
( )
sh , chRxx−− =
( )
sh , chRxx
th xt=
новки:
а) если
подстановку
б) если
подстановку
в) если
sin , cos
sin , cos
sin ,cos
−
;
sin ,cos
−
;
, то применяют
, то применяют
, то применя-
ют подстановку
cos1xt=
Интегрирование рационально-гиперболических
функций
th
В частных случаях возможны более простые подста-
новки:
а) если
подстановку
б) если
подстановку
в) если
подстановку
(
t=
,
dxt=
2
+
. При этом
2
+
,
ch
x
=
;
;
.
.
реализуется подстановка
1
t
+
,
2
−
, то применяют
, то применяют
, то применяют
,
).
84
2) Интеграл
sin cos
mn
x xdx⋅
∫
m
cos xt=
n
sin xt=
mn+
2
2
xx
( )
2
1
cos 1 cos 2
2
xx= +
sin cosmx nxdx⋅
∫
∫
∫
sin cosα β=
1
2
cos cosα β=
1
2
sin sinα β=
1
2
этого вида интегралов применяют следующие подстановки:
а) если
няют подстановку
б) если
няют подстановку
в) если сумма
понижают порядок по формулам тригонометрии:
sin cos sin2
– нечетное положительное число, то приме-
– нечетное положительное число, то приме-
– четное положительное число, то
xx x=
1
2
,
sin 1 cos2
.
. При интегрировании
;
;
1
= −
( )
,
3) Интегралы вида
cos cosmx nxdx⋅
При интегрировании этих интегралов понижают по-
рядок подынтегральной функции по формулам тригонометрии:
,
sin sinmx nxdx⋅
sin sin
α+β + α−β
( ) ( )
cos cos
α+β + α−β
( ) ( )
cos cos
α−β − α+β
( ) ( )
,
.
,
,
.
85
4) Интегралы вида
∫
ctg ( )
m
xdx m целое−
∫
22
xx
22
xx
11
xx
( )
( )
12
12
, , ,...
mm
nn
R x ax b ax b dx
++
∫
R
112 2
/ , / ,...m nm n
ax b t
12
, ,...nn
0a >
0c ≥
( )( )
22
12
4 0, ;b ac ax bx c a x x x x− > + += − −
( )
2
,
i
ax bx c t x x+ += −
1i =
2.i =
tgmxdx
,
При интегрировании этого вида интегралов используют
формулы:
tg sec 1
= −
;
ctg cosec 1
= −
;
.
sec , cosec
x
= =
cos sin
.
9.9. Интегрирование иррациональных функций
Соответствующей подстановкой подынтегральное
выражение приводится к рациональной дроби.
1) Для интегралов
где
– рациональная функция,
–
несократимые дроби, применяется подстановка
s
+=
, где s – наименьшее общее кратное чисел
.
2) Для интегралов
,R x ax bx c dx
∫
2
++
применяют
подстановки Эйлера:
а)
б)
, подстановка
, подстановка
в)
подстановка
2
2
;ax bx c ax t+ +=± +
;ax bx c tx c+ += ±
где
либо
,
86
3) Интегрирование иррациональностей от дробно-
, , , 1, 0
m
x
R x dx m N m
x
α +β
αβ
∈> ≠
γδ
γ +δ
∫
( )
p
mn
pZ∈
k
xt=
m
1m
Z
n
+
∈
nk
a bx t+=
p
1m
pZ
n
+
+∈
nk
ax b t
−
.p
sinxa t=
( )
cosxa t=
tgxat=
линейной функции
– подста-
α +β
новка
4) Интегрирование биномиальных дифференциалов
x
γ +δ
x
m
=
t
.
x a bx dx+
∫
трех случаях:
а)
тель
б)
натель
в)
знаменатель
9.10. Тригонометрические подстановки
1)
2)
, подстановка
и n, Z – множество целых чисел.
.
,R x a x dx
∫
,R x a x dx
∫
реализуется в конечном виде лишь в
, подстановка
, подстановка
22
−
.
22
+
; подстановка
; подстановка
, где k – общий знамена-
, где k – знаме-
+=
, где k –
87
( )
ctg , sh
xa txat
secxa t=
( )
cosec , chxa txa t= =
( )
fx
[ ]
ab
( )
ab
[ ]
,ab
012
, , ,...,
n
a x xx x b= =
n
τ
{ }
01 0 1 1
n n nn
1kkk
xxx
−
∆= −
[ ]
1,kk
xx
−
1,...,kn=
11 1k kkn
ax x x x b x
−−
ξ
( )
( )
= =
.
3)
∫
10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1. Интегральная сумма. Понятие определенного
интеграла
Пусть функция
отрезке
Разобьем
точками
ение через
τ= = < < < < =
22
,R x x a dx
−
,
.
, ,..., | ...
xx x a x x x x b
; подстановка
.
определена и ограниченна на
.
<
y y fx=
f ξ
k
произвольным образом на n отрезков
и обозначим это разби-
−
.
Пусть
,
– длина частичного отрезка
. На каждом отрезке выберем про-
88
извольным образом точку
k
ξ
n
σ=
( )
( )
11
...
nn
fx f xξ∆++ ξ ∆ =
( )
1
n
kk
k
fx
==
ξ∆
∑
( )
fx
[ ]
n
τ
[ ]
k
ξ
kn
{ }
max
k
xλ= ∆
n
σ
0λ→
[ ]
,ab
k
ξ
( )
fx
[ ]
kk
a
( )
( )
fx
x
,ab
[ ]
,ab
и составим сумму
Это интегральная сумма Римана для функции
отрезке
и выбору промежуточных точек
,ab
Пусть
Если существует конечный предел интегральной
суммы
ения отрезка
то этот предел называется определенным интегралом
(интегралом Римана) от функции
и обозначается
,ab
где
f x dx
– переменная интегрирования;
Класс интегрируемых функций (по Риману):
1) непрерывные на
, соответствующая разбиению
,ab
,
.
при
b
f x dx f x
∫
– подынтегральное выражение;
– подынтегральная функция;
– нижний и верхний пределы интегрирования.
, не зависящий от способа разби-
и выбора промежуточных точек
на отрезке
n
( )
λ→
;
lim
= ξ∆
( )
∑
0
k
1
=
,
.
на
отрезка
1,...,
=
.
,
89
2) ограниченные на
[ ]
,ab
a
a
( ) ( )
ba
ab
f x dx f x dx= −
∫∫
( ) ( )
bb
aa
cf x dx c f x dx=
∫∫
11
nn
a aa
( ) ( ) ( )
b cb
aac
f x dx f x dx f x dx= +
∫∫∫
( )
0fx≥
[ ]
,x ab∀∈
( )
ab<
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
( )
fx
( )
gx
( ) ( )
fx gx≥
[ ]
,x ab∀∈
bb
aa
∫∫
m
( )
fx
[ ]
,ab
( )
ab<
разрыва I-го рода;
3) монотонные ограниченные.
10.2. Основные свойства определенного интеграла
a
1)
f x dx =
( )
∫
. 2)
0
с конечным числом точек
b
dx b a= −
∫
.
3)
b bb
5)
( )
∫ ∫∫
6)
7) Если
8) Если для интегрируемых функций
полняется
то
f x dx g x dx≥
9) Если
функции
... ...
f x f x dx f x dx f x dx±± = ±±
( ) ( )
( ) ( )
и M – наименьшее и наибольшее значения
на отрезке
. 4)
( ) ( )
.
.
, то
и
,
, то
.
.
.
вы-
90
( ) ( ) ( )
b
a
mba fxdx Mba−≤ ≤ −
∫
.
( )
fx
[ ]
,ab
[ ]
,abξ∈
( ) ( )( )
b
a
f x dx f b a=ξ−
∫
[ ]
( )
fx
xb=
xa=
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
( )
fx
[ ]
( )
xt
[ ]
12
,tt
[ ]
( )
[ ]
,,
ϕ=
( )
taϕ=
( )
2
,tbϕ=
2
'.
t
.
bb
b
a
aa
udv uv vdu= −
∫∫
10) Если
точка
10.3. Основные методы вычисления определенного
интеграла
Формула Ньютона-Лейбница. Значение определен-
ного интеграла на отрезке
ции
образной, вычисленной при
Замена переменной. Если
а
= ϕ
причем
b
f x dx f t t dt= ϕϕ
( ) ( )
∫∫
at
непрерывна на
такая, что
,ab
равно разности значений любой ее перво-
непрерывно дифференцируема на
( )
и
t t ab
12
2
( )
, то существует
.
от непрерывной функ-
и
непрерывна на
1
:
.
,ab
,
то
,
,
Интегрирование по частям: