Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
131
( )
( )
22
,, ,
y
V
J x y z x z dv=γ+
∫∫∫
( )
=γ+
( )
∫∫∫
( )
∫∫∫
( )
∫∫∫
( )
( )
y yx=
( )
( )
2
1.ds y x dx
′
= +
( )
,y yx=
( )
z zx=
22
1.
′′
=++
( )
,x xt=
( ) ( )
J x y z x y dv
z
4) Центробежные моменты инерции тела:
J xy x y z dv= γ
xy
V
J yz x y z dv= γ
5) Полярный момент инерции тела:
J x y z x y z dv= ++ γ
0
∫∫∫
V
14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1. Криволинейный интеграл по длине
(1-го рода)
Дифференциал длины дуги в плоском случае для линии, заданной уравнением
Дифференциал длины дуги в пространственном случае для линии, заданной уравнениями
равен
ds y x z x dx
При параметрическом задании линии
,y yt z zt= =
,, .
( )
∫∫∫
V
,, ,
yz
V
222
( )
( )
дифференциал длины дуги в плоском
22
J xz x y z dv= γ
xz
V
,, .
( )
( )
( )
,, ,
,, .
равен
132
случае равен
( )
( )
( )
( )
22
,ds x t y t dt
′′
= +
222
′′′
( )
( )
,f f xy=
K AB=
AB
11
,...,
n
AA
−
0
AA=
n
BA=
ii
AA
M
,.
ii
xy
( )
ii
fxy
ii i
AA s
= ∆
0
AA=
1
A
2
A
1nA−
1
M
2
M
n
M
x
y
O
n
BA=
ственном случае
= ++
( )
( )
Определение. Криволинейным интегралом 1-го рода
от функции двух переменных
,Kf x y ds
∫
( )
( )
а в простран-
( )
( )
.ds x t y t z t dt
,
взятым по отрезку
число, получаемое следующим образом:
1) Дуга
вольно выбранными точками
начала дуги
2) Внутри (или на границе) каждой элементарной дуги
1
−
динатами
ках умножаются на длины дуг
считаются положительными).
разбивается на n элементарных дуг произ-
до конца
выбирается одна произвольная точка
плоской кривой, называется
, идущими от
.
в этих выбранных точ-
,
1
−
с коор-
i
(эти длины
133
4) Все полученные n произведений
( )
ii i
( )
max 0
1
lim , .
n
ii i
s
i
i
fxy s
∆→
=
∆
∑
,,
ii
AM
n
ii i
( )
,, ,u f xyz
K
( )
( )
,,f xyz
( ) ( )
,x xt y yt= =
( ) ( ) ( )
,,x xt y yt z zt= = =
[ ]
01
,t tt∈
22
,, ,
t
′′
дываются.
,
fxy s∆
скла-
5) Вычисляется предел суммы
Если этот предел существует и не зависит от выбора
точек
то он называется криволинейным инте-
гралом 1-го рода
, lim , .
fxyds fxy s
( )
∫
K
= ∆
max 0
s
∆→
i
n
→∞
∑
i
=
( )
1
Аналогично определяется криволинейный интеграл
1-го рода для функции трех переменных
взятый по отрезку
, , lim , , .
fxyzds fxyz s
( )
∫
K
пространственной кривой
n
= ∆
s
max 0
∆→
i
n
→∞
∑
i
1
=
( )
=
iii i
Теорема существования. Если функция
непрерывна, а кривая на отрезке K непре-
рывна и имеет непрерывную касательную, то криволинейный интеграл 1-го рода существует.
Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
Оно сводится к вычислению определенного интеграла:
1) Если уравнения пути интегрирования заданы в парамет-
рической форме
ной кривой
1
f x y ds f x t y t x t y t dt
( ) ( ) ( )
∫∫
Kt
= +
( )
0
(для пространствен-
),
( )
( )
( )
( )
,f xy
, то
или
134
( )
,,
K
f x y z ds =
∫
222
t
′′′
0
t
1
t
B
01
.tt<
( )
( ) ( )
( )
K
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
,, 1 .
b
a
f x y x z x y x z x dx
′′
= ++
∫
xa=
xb=
.ab<
K
.
K
L ds=
∫
1
= ++
Здесь значение параметра
значение параметра
и
2) Если уравнение пути интегрирования задано в явном
виде
( ) ( ) ( )
( )
∫
t
0
выбираются так, чтобы выполнялось неравенство
y yx=
для плоской кривой (для пространствен-
( )
( )
берется для точки B. Точки A
( )
( )
берется для точки A,
( )
( )
,, .
f x t y t z t x t y t z t dt
ной кривой
, ,1 ,
f x y ds f x y x y x dx
( ) ( )
∫∫
Ka
Здесь значение
берется для точки B. Точки A и B выбираются
так, чтобы выполнялось неравенство
Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
1) Длина криволинейного отрезка
,y yx z zx= =
b
= +
f x y z ds =
∫
берется для точки A, значение
), то
( )
,,
( )
:
′
( )
2
135
2) Масса тяжелого неоднородного криволинейного от-
K
( )
,, :xyzγ=γ
( )
K
∫
D
D
,F
( )
,,xy D∈
( )
,.
t
( ) ( )
.L
L
0
B
B
n
k
B
n
B
1k
B
0
B
y
x
O
D
резка
переменной плотности
M x y z ds= γ
14.2. Криволинейный интеграл по координатам
(2 – го рода) Задача о работе силового поля Предположим, что в области
вое поле. Тогда на материальную точку в
действует сила
F F xy=
ное (не зависит от времени
Пусть материальная точка движется по линии
определенная для всякой точки
,, .
Считаем, что поле стационар-
)
, ,.F Pxyi Qxy j= +
−
задано плоское сило-
в поле
Вычислим работу по перемещению материальной точки по линии
из
в
. Разобьем линию на
n
136
частей точками
01
, ,..., .
n
BB B
1
, 1,...,
kk k k
B B xi y j k n
−
=∆ +∆ =
1
.
k kk k
A FB B
−
∆= ⋅
( ) ( )
, ,.
k kk k kk k
A Pxy x Qxy y∆ = ∆+ ∆
( ) ( )
1
, ,.
n
n kk k kk k
k
A Pxy x Qxy y
=
= ∆+ ∆
∑
.L
1k kk
s BB
−
∆=
.L
( )
max 0 ,
k
sn∆ → →∞
n
L
L
n
( ) ( )
L
∫
Работа на отрезке
равна
A F BB
∆= ⋅ α
k k kk k
Тогда
cos
1
−
или
Просуммиру-
ем по всем отрезкам
Выражение в правой части называется интегральной
суммой по линии
Пусть
стичного участка разбиения кривой
делу при
получим истинную
– длина ча-
Переходя к пре-
величину работы
lim , , .
A Pxy x Qxy y
= ∆+ ∆
S
max 0
∆→
k
n
→∞
( ) ( )
∑
kk k kk k
k
1
=
Определение. Криволинейным интегралом 2-го рода
по линии
называется предел интегральной суммы
при стремлении к нулю длины наибольшего частичного
участка разбиения кривой
lim , ,
S
max 0
∆→
n
→∞
Pxy x Qxy y
( ) ( )
∑
k
k
1
=
P x y dx Q x y dy= +
∆+ ∆=
kk k kk k
, ,.
137
В частности, если
( )
, 0,Qxy ≡
( )
.x
( )
, 0,Pxy ≡
( )
L
∫
.y
F
( ) ( )
L
∫
( ) ( )
,, ,Pxy Qxy
F
B
( ) ( )
[ ]
, ,,
BC
x xt y yt t t t= = ∈
( ) ( )
,,
L
+=
, ,.
′′
( ) ( )
,, ,P xy Qxy
( ) ( )
,xt yt
то интеграл примет
вид
∫
лом по координате
Если
и называется криволинейным интегралом по координате
Работа силового поля
P x y dx Q x y dy+
проекции
Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
но сводится к вычислению определенных интегралов.
Правило. Вычисление криволинейного интеграла
2-го рода от точки
муле
t
C
Pxt yt x t Qxt yt y t dt
( )
∫
t
B
Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода всегда существует, если
и называется криволинейным интегра-
,LP x y dx
то интеграл примет вид
по кривой L есть
, ,,
на оси координат.
P x y dx Q x y dy
∫
( ) ( )
( )
где
до точки C по линии :L
производится по фор-
+
( ) ( ) ( )
( )
непрерывны, а
,
Q x y dy
( )
непрерывны со своими производными.
138
Если уравнение линии задано в явном виде
( )
,
y yx=
,xt=
( ) ( )
,,
L
P x y dx Q x y dy+=
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,, .
C
B
x
x
Pxyx Qxyx y x dx
′
= +
∫
L
Oxy
L
( ) ( )
L
∫
( ) ( ) ( ) ( )
,, ,,.
LL
+=− +
∫∫
x
y
O
L
то, полагая
Если линия задана уравнениями разных видов, то линию нужно разбить на отдельные участки интегрирования.
14.3. Криволинейный интеграл по замкнутому
контуру
имеем
Рассмотрим замкнутый контур
Положительным направлением обхода контура будем
считать направление против часовой стрелки. Криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру
обозначается
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
−
, ,.
P x y dx Q x y dy+
на плоскости
.
139
Теорема. Если область ,D ограниченную замкнутой
,L
D
,D
L
1
:L CBAC
2
:.L AECA
( )
( )
,Qxy
,S
LS
+=−
( )
,Pxy
( )
,Qxy
.S
x
y
O
12
LLL= +
12
DDD= +
1
D
2
D
1
L
2
L
A
C
E
B
кривой
нейный интеграл по всей линии
гралов по линиям
разбить на две части
и
и
1
равен сумме инте-
то криволи-
2
14.4. Формула Грина
Теорема. Если функции
вместе со своими производными в замкнутой области
ограниченной контуром ,L то
P x y dx Q x y dy dxdy
,,
( ) ( )
∫ ∫∫
14.5. Условие независимости криволинейного
интеграла 2-го рода от пути интегрирования
Это означает, что величина работы силового поля по перемещению материальной точки не зависит от пути, а только от начальной и конечной точек.
Теорема. Пусть функции
ны вместе со своими производными в замкнутой обла-
Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл
сти
,Pxy
и
QP
∂∂
xy
∂∂
и
непрерывны
непрерыв-
140
2-го рода
( ) ( )
,,
L
P x y dx Q x y dy+
∫
,S
( )
,xy S∀∈
.
PQ
yx
∂∂
=
∂∂
( ) ( )
, ,,
L
P x y dx Q x y dy+
∫
,S
( ) ( )
,,
L
∫
S
.
PQ
yx
∂∂
=
∂∂
( ) ( ) ( )
=++
L
( ) ( ) ( )
,, ,, ,, .
L
A P x y z dx Q x y z dy R x y z dz= ++
∫
не зависел от линии
интегрирования, лежащей в
но, чтобы
Равносильные утверждения:
1) Криволинейный интеграл 2-го рода
взятый по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области
2) Криволинейный интеграл 2-го рода
не зависит от линии интегрирования, соединяющих две данные точки.
3) Во всех точках области
14.6. Криволинейные интегралы 2-го рода
по пространственным линиям
Работа силового поля
выполнялось равенство
равен нулю.
P x y dx Q x y dy+
,, ,, ,,F P xyzi Q xyz j Rxyzk
необходимо и достаточ-
по перемещению материальной точки по линии
на
рав-