Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
251
ственным образом представима в виде ряда Лорана,
( )
( )
zz
( )
z
0
n
n
=
( )
( )
( )
2
0
2) cos 1 ,
2!
n
n
n
z
z zz
n
∞
=
=−∈
∑
( )
( )
( )
21
0
3) sin 1 ,
2 1!
n
n
n
z
z zz
n
+
∞
=
=−∈
+
∑
( ) ( )
1
1
4) ln 1 1 , 1
n
n
n
z
zz
n
∞
−
=
+= − <
∑
( ) ( )
1
n
=
21
0
n
n
zz
+
=
=−<
0
n
zz
=
=−<
коэффициенты которого вычисляются по формулам:
∫
−=ρ
f z dz
−
za
( )
, ; 0, 1, 2,...
( )
1
n
+
.
1
= <ρ< = ± ±
с r Rn
n
2
π
i
za
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций
(символ
ках комплексной плоскости
∞
z
e zz
1) ,
= ∈
∑
означает, что ряд сходится во всех точ-
∈
):
z
n
!
( )
;
;
;
;
5) 1 1 , 1,
α
z zz R
+ = + < α∈
( )
6) arctg 1 , 1
1
7) 1 , 1
1
z
+
∞
∑
∞
( )
∑
∞
n
( )
∑
1 ... 1
α α− α− +
!
n
z
n
21
n
+
n
;
n
n
;
252
( )
( )
( )
1
1
1
1
11
8)
1! 1
1
n
n
nn
d
nz
dz
z
−
−
−
−
= ⋅
−+
+
.
0
z
( )
fz
0
0 zz< − <δ
0
z
( )
fz
0
z
0
z
0
z
n
( )
cc
( )
1n =
0
z
0
z
( )
fz
20.6. Вычеты ФКП в изолированных особых точках
Определение 1. Точка
особой точкой функции
называется изолированной
, если существует ок-
рестность
точкой
мой точки
, в которой
.
Определение 2. Точка
этой точки с исключенной
аналитическая, кроме са-
называется устранимой осо-
бой точкой, если разложение функции в ряд Лорана в
окрестности этой точки не содержит главной части.
Определение 3. Точка
сти
функции, если в разложении ее в ряд Лорана в
называется полюсом кратно-
окрестности этой точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля
коэффициентом является
ность равна единице
nn
−−
, то точка
0
≠
простым полюсом.
Определение 4. Точка
особой точкой функции
называется существенно
, если главная часть ее
разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
. Если крат-
называется
253
Определение 5. Вычетом функции
( )
fz
0
z
( )
0
res fz
( )
0
reszfz
1
L
L
( )
fz
0
z
L
−=ρ
ρ
( )
fz
1
c
0
zz−
( )
01
res fz c
−
=
( )
fz
( )
( )
( )
( )
0
00
res lim
zz
fz fz z z
→
= −
( )
fz
0
z
(
)
1
00
m
−
0
z
0
z
( )
0
res fz
1c−
( )
fz
0
z
точки
вается число, равное
(обозначается
или
относительно
) назы-
res
fz fzdz
( )
0
– простой замкнутый контур, лежащий в области
где
аналитичности функции
себя только одну особую точку
В качестве
достаточно малого радиуса
что вычет функции
разложения ее в ряд Лорана по степеням
−
мой особой точке равен нулю. Вычет
полюсе равен
Вычет функции
вен
res lim
fz fz z z
( )
Если
для определения
циент
окрестности точки
– существенно особая точка функции
в лорановском разложении функции
удобно брать окружность
. Отсюда следует, что вычет в устрани-
1
= −
1!
m
−
zz
.
( )
,
( )
∫
2
i=π
и содержащий внутри
.
zz
. Из определения следует,
совпадает с коэффициентом
в простом
.
в полюсе
d
m
→
−
dz
0
необходимо найти коэффи-
порядка m ра-
( )
1
( )
m
0
:
.
, то
в
254
Теорема Коши о вычетах. Если функция
( )
fz
L
12
, ,...,
n
zz z
( )
( )
1
2 res
n
k
k
L
fzdz i fz
=
= π
∑
∫
( )
( )
Qz
( )
Pz
( )
( )
( )
1
2 res
n
k
k
Px
dx i R a
Qx
∞
=
−∞
= π
∑
∫
12
, ,...,
n
aa a
( )
Rz
( )
( ) ( )
sin ,cosR x x Fz=
ez
0
σ
( )
1z =
литическая на границе
за исключением конечного числа изолированных осо-
бых точек
20.7. Вычисление некоторых действительных
интегралов с помощью вычетов
А) Если рациональная функция
полюсов на вещественной оси и степень знаменателя
, по крайней мере, на две единицы выше степени
числителя
, то
области D и внутри области,
, то
( )
=
Pz
Qz
,
Rz
– ана-
не имеет
( )
где
верхней полуплоскости
Б) Пусть
Тогда
где
есть сумма вычетов функции
тельно полюсов, заключенных внутри окружности
.
– полюсы функции
2
sin ,cos 2R x x dxπ= π⋅σ
( )
∫
Im 0z >
.
, если положить
,
, лежащие в
ix
.
=
относи-
/Fz z
255
21. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
t
| ()|
b
a
f t dt <∞
∫
Me
1, 0;
()
0, 0.
t
t
t
≥
η=
<
at
n
2
1
(), tg (), ()
t
e t tt t
t
⋅η ⋅η ⋅η
21.1. Основные свойства оригиналов и изображений
Определение. Функцией – оригиналом называется лю-
бая комплекснозначная функция f(t) действительного
аргумента
, удовлетворяющая условиям:
– для любого отрезка [a, b]
кальная интегрируемость f(t));
– f(t) = 0 при t < 0;
– найдутся такие M > 0 и s∈ R, что | f(t) | ≤
st
≤
зательной функции). Нижняя грань s
(|f(t)| может расти не быстрее некоторой пока-
⋅
чисел s, удовле-
0
творяющих указанному неравенству, называется показателем роста оригинала f(t).
Замечание. Для локальной интегрируемости f(t) до-
статочно, чтобы f(t) была кусочно-непрерывной, то есть
на каждом отрезке имела не более чем конечное число
разрывов I рода.
Примером оригинала является функция Хевисайда
Ее показателем роста является s0 = 0. Произведения
( ), sin ( ),
e t at t⋅η ⋅η
()( )
t tnN⋅η ∈
ются оригиналами. Их показатели роста равны соответственно a, 0, 0 (напомним, что степенные функции при
достаточно больших значениях переменной растут
медленнее любой показательной функции). Функции
оригиналами не являются.
(ло-
также явля-
256
Замечание. Оригиналы вида
() (),gt t⋅η
()gt
()gt
()tη
()tη
sin sin ( )t tt= ⋅η
0
( ) ()
pt
F p f t e dt
∞
−
=
∫
( ,)t ∈ −∞ ∞
.pC∈
Re
lim ( ) 0.
p
Fp→∞=
где
элементарная функция, принято записывать как
подразумевая, что множитель
всегда присутствует.
Тогда, в частности, функцию Хевисайда можно записать
как 1, 1=
. Аналогично
и т. д.
Определение. Если f(t) – оригинал, то комплексная
функция F(p) комплексной переменной p = s + iω,
определяемая равенством
,
называется преобразованием Лапласа для f(t) или ее
изображением. Соответствие оригинала и изображения
принято обозначать так: f(t) ÷ F(p);
f(t),
÷ F(p),
Изображения функций удобно обозначать той же
буквой, что и функцию-оригинал, только заглавной.
Например, f(t) ÷ F(p); g(t) ÷ G(p), h(t) ÷ H(p) и т. д.
Теорема. Пусть f(t) – оригинал и s
– его показатель
0
роста. Тогда
a) его изображение F(p) является аналитической
функцией в полуплоскости Re p > s
точках p = s + iω, для которых s > s
б)
, то есть в
0
;
0
,
257
Свойства изображений
( ) ( ) ( ) ( )
,ft F p gt Gp÷÷
() () ( ) ( )ft gt F p Gpα +β ÷ α +β
( ).
t
f aF ap
a
÷
( )
0f
( )
( )
0f +
( )
'0f +
( ) ()
d
Fp t ft
dp
÷− ⋅
( )
( ) ( ) ( )
1
n
n
n
F p t ft÷− ⋅
0
()
0
()
t
fdττ
∫
Пусть
1. Линейность (α, β – числа):
2. Теорема подобия (a > 0):
1,p
÷
f at F
( )
3. Дифференцирование оригинала: если f(t) непре-
рывна на [0, ∞) и f ′(t) – оригинал, то
Аналогично, если f ′(t) непрерывна на [0, ∞) и f
′′(t) – оригинал, то
т. е.
и т. д. Здесь под
справа
4. Дифференцирование изображения:
или вообще
5. Интегрирование оригинала:
f ′′(t) ÷ p(pF(p) – f(0)) – f ′(0),
f ′′(t) ÷ p
,
aa
f ′(t) ÷ pF(p) – f(0).
2
F(p) – pf(0) – f ′(0)
,
, … .
t
f t dtp÷
() .
∫
. Тогда имеет место:
.
, … понимается предел
'0f
,
.
Fp
(Напомним, что смысл интеграла в левой части таков:
– это интеграл с переменным верхним преде-
258
лом, он является первообразной для подынтегральной
()
t
( ) ( ).
ap
ft a e Fp
−
−÷ ⋅
at
at
−
00
( )() () ( ) () ( )
tt
fgt fgtd gftd∗ = τ ⋅ −τ τ= τ ⋅ −τ τ
∫∫
0
1
() () () ( ) , .
2
si
si
f t g t F z G p z dz s s
i
+∞
−∞
⋅÷ − >
π
∫
функции f(t)).
6. Интегрирование изображения: если
ft
– ори-
гинал, то
∞
()
F p dp
∫
p
()
ft
.
÷
t
7. Теорема запаздывания (запаздывающий оригинал равен нулю при t < a; a > 0; его график получается
смещением графика оригинала f(t) на a единиц вправо):
8. Теорема смещения (изображения) (a ∈ С):
( ) ()
Fp a e ft−÷ ⋅
, ,
( ) ().
Fp a e ft
+÷ ⋅
9. Изображение свертки оригиналов f и g
(напомним, что f∗g = g∗f):
t
() ( ) () ().
f gt d F p Gpτ ⋅ −τ τ ÷ ⋅
∫
0
10. Изображение произведения:
Здесь s
– показатель роста произведения; интеграл бе-
0
рется по прямой s = const.
259
Примеры оригиналов и их изображений
1
1
t nN
n
at
e
1
pa
sin tω
22
pω+ω
cos tω
22
p
p +ω
sh tω
22
ch tω
22
p
at
et
at
et
pa
−
Таблица
f(t) F(p) f(t) F(p)
1 1
n
3
,
5
7
9
sin
∈
ω
( )
p
1!n
+
p
pω−ω
2
paω− +ω
2
2 t
4
6
8
10
cos
ω
Таблица
f(t) F(p)
По свойству 7
(запаздывание)
10
f(t) = η(t – a)
из формулы 1
таблицы
F(p) =
Заметим, что умножением функции g(t) на η(t – a)
мы превращаем ее в нуль при t < a, оставляя ее неиз-
( )
2
p
−
p −ω
2
pa
− +ω
ap
−
e
⋅
2
1
.
p
260
менной в других точках (не путать с запаздыванием, то
2
1
p
2
1
ap
e
p
−
⋅
1
2
22
11
()
pp
Fp e e
pp
−−
= − ⋅−
есть с параллельным переносом графика).
Таблица
f(t) F(p)
11
f(t) = t – t⋅η(t – a)=
= t – (t – a)⋅η(t – a) –
– a⋅η(t – a).
Таблица
12
f(t) рассмотрим как запаздывающий на 1 оригинал
f
(t) из примера 11 (a = 2),
1
f
(t) = t – t⋅η(t – 2).
1
f(t) F(p)
Применим свойство 7 (запаздывание) к оригиналу из примера 10 при a = 2:
21p
−
−⋅ ⋅
ae
По свойствам 1
(линейность) и 7
(запаздывание)
из формулы 2 и 1
таблицы
F(p) =
–
=
ap
−
– a⋅
p
e
.
.
⋅
p
–