Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
71
8.3. Точки перегиба
( )
fx
0
x
0
x
( )
00
xx
( )
00
,xx+δ
0δ>
( )
fx
0
x
( )
fx
( )
fx
0
x
0
x
( )
fx
0
x
0
x
( )
fx
( )
( )
00
( )
fx
0
x
( )
( )
fx
′′
( )
fx
0
x
Пусть функция
окрестности точки
самой точки
и
,
−δ
строго выпукла вниз, а на другом строго выпукла
вверх, то говорят, что при переходе через точку
функция
Пусть функция
окрестности точки
в этой точке конечную или бесконечную производную.
Тогда, если функция
меняет направление выпуклости, то точка
вается точкой перегиба функции
меняет направление выпуклости.
определена в некоторой
за исключением, быть может,
. Если существуют интервалы
,
, на одном из которых
определена в некоторой
, непрерывна в точке
при переходе через точку
.
и имеет
назы-
В этом случае точку
региба графика функции
Необходимое условие существования точки перегиба. Если точка
то либо
Достаточное условие существования точки перегиба. Пусть функция
0fx′′=
0
;x fx
является точкой перегиба функции,
, либо
дифференцируема в точке
называют точкой пе-
.
не существует.
0
72
и дважды дифференцируема в некоторой окрестности
0
x
0
x
0
x
( )
fx
0
x
( )
0
xx<
( )
0fx′′>
0
xx>
( )
0fx′′>
0
xx<
( )
0fx′′<
0
xx>
0
x
0
x
( )
fx
0
x
( )
( )
0
fx fx≤
( )
( )
( )
0
x
( )
fx
0
x
( )
( )
0
fx fx<
( )
( )
( )
точки
точка
ствует окрестность точки
либо
либо
В этом случае принято говорить, что при переходе
через точку
8.4. Экстремумы функции
Точка
(локального минимума) функции
ет окрестность точки
неравенство
Точка
максимума (строгого локального минимума) функции
точек которой верно неравенство
, кроме, быть может, самой точки
является точкой перегиба
, в которой
при
0fx′′<
при
вторая производная меняет знак.
называется точкой локального максимума
называется точкой строгого локального
, если существует окрестность точки
и
и
, для всех точек которой верно
fx fx≥
при
при
, если существу-
0
. Тогда
, если суще-
,
.
.
, для всех
fx fx>
Для краткости слово «локальный» часто отбрасывают
и говорят просто «точка минимума» и «точка строгого
максимума». Точки максимума и минимума функции
называются точками экстремума, а значения функции
в этих точках – ее экстремумами.
.
0
73
Необходимое условие экстремума. Если точка
0
x
( )
fx
( )
0
0fx′=
( )
( )
fx
0
x
0
x
0
x
0
x
( )
0fx′>
( )
( )
0fx′<
0
xx<
( )
0fx′<
( )
( )
0fx′>
0
xx>
0
x
( )
fx
0
x
( )
0
0fx′=
( )
0
0fx′′≠
( )
0
x
( )
является точкой экстремума функции
, либо
называются критическими точками функции.
Достаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной). Пусть функция
дифференцируема в некоторой окрестности точ-
, кроме, быть может, самой точки
ки
функция, однако, непрерывна. Тогда точка
точкой строгого максимума (строгого минимума), если
существует окрестность точки
′
не существует. Такие точки
fx
0
, в которой
, то либо
, в которой
является
при
.
В этом случае принято говорить, что при переходе через точку
нус») на знак «минус»(«плюс»).
Достаточные условия строгого экстремума (с использованием второй производной). Пусть функция
имеет в точке
рядка, причем
0
кального минимума, если
кального максимума.
производная меняет знак «плюс» («ми-
, то точка
0fx′′>
и
производные 1–го и 2-го по-
, а
является точкой строгого ло-
– строгого ло-
0fx′′<
0
при
. Тогда, если
74
Наибольшее и наименьшее значения функции на
( )
fx
[ ]
;ab
lim ( )
x
fx a
→+∞
= ≠ ±∞
ya=
lim ( )
x
fx b
→−∞
= ≠ ±∞
yb=
lim ( )
xa
fx→= ±∞
xa=
lim ( )
x
fx
→+∞
= ±∞
1
()
lim
x
fx
k
x
→+∞
=
( )
x
→+∞
11
y kx b= +
отрезке. Для функции, непрерывной на отрезке, существует на этом отрезке точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейер-
штрасса).
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной
функции
тической точке, или на концах отрезка.
8.5 Асимптоты функции
Если
горизонтальная асимптота графика функции.
Если
ризонтальная асимптота графика функции.
Если
кальная асимптота графика функции.
Если
на отрезке
достигается или в кри-
, то прямая
, то прямая
, то прямая
, то вычисляют два предела:
– го-
– верти-
–
,
существовании обоих этих пределов имеем наклонную
асимптоту графика функции
lim ( )
b f x kx
= −
1
. При
.
75
Если
lim ( )
x
fx
→−∞
= ±∞
()
x
fx
x
→−∞
( )
2
lim ( )
x
b f x kx
→−∞
= −
22
y kx b= +
, то вычисляют два предела:
k
При существовании обоих этих пределов имеем
наклонную асимптоту графика функции
8.6. Построение графиков
При построении графика функции можно придерживаться следующей схемы:
1) Найти область определения функции. Проверить,
является ли функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки пересечения функции с осями координат.
Найти точки разрыва функции.
2) Найти асимптоты графика. Найти односторонние
пределы функции в граничных точках области определения и в точках разрыва.
3) Найти первую производную, определить экстремумы
функции и промежутки ее возрастания и убывания.
4) Найти вторую производную, определить точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз.
5) Нарисовать эскиз графика функции.
lim
=
2
,
.
.
76
9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
( ) ( )
( )
fx
xX∀∈
( ) ( )
'F x fx=
( ) ( )
( )
Fx
( )
( )
fx
( ) ( )
∫
( )
( )
( )
',
( )
( )
( )
( ) ( )
;dFx Fx C= +
∫
( ) ( )
;af x dx a f x dx=
∫∫
( ) ( )
( )
(
) ( )
11
... ... ;
nn
f x f x dx f x dx f x dx±± = ±±
∫ ∫∫
( ) ( )
1
;f ax b dx F ax b C
a
+ = ++
∫
9.1. Первообразная функции и неопределенный
интеграл
Функция
Fx x X R∈⊂
называется первообраз-
ной для функции
дифференцируема
dF x f x dx=
Операция отыскания
нием. Интегрирование – операция обратная дифферен-
цированию.
Совокупность
вообразных функции
ется неопределенным интегралом и обозначается
f x dx F x C= +
9.2. Основные свойства неопределенного интеграла
1)
fxdx fx=
∫
2)
4)
5)
6) Инвариантность формул интегрирования. Любая
формула интегрирования сохраняет свой вид, если пе-
.
Fx C+
на множестве X, если она
и
называется интегрирова-
(C – постоянная) всех пер-
на множестве X называ-
.
3)
∫
;d f x dx f x dx=
или
77
ременную интегрирования заменить любой дифферен-
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
( ) ( )
f u du F u C= +
∫
( )
( )
u ux=
( )
( )
( )
';
( )
( )
( )
( ) ( )
;dFu Fu C= +
∫
( ) ( )
∫∫
( ) ( )
( )
( ) ( )
11
nn
∫ ∫∫
1
a
1
1
n
n
+
uC
u
ln
u
a
uu
∫
=−+
∫
∫
2
tg ;
cos
du
uC
u
= +
∫
sin
uC
u
=−+
au
−
22
1
arctg ;
du u
C
aa
au
= +
+
∫
цируемой функцией этой переменной
⇒
.
9.3. Основные правила интегрирования
1)
fudu fu=
∫
3)
5)
6)
∫
9.4. Таблица основных неопределенных интегралов
u dx C n
1)
∫
a du C
3)
∫
5)
sin cos ;udu u C
7)
9)
∫
... ... ;
f u f u du f u du f u du±± = ±±
+ = ++
( ) ( )
u
n
= + ≠−
+
a
u
= +
du a u
22
1
= +
a au
2
2)
4)
, 1;
( )
;
4)
6)
8)
+
ln ;
C
−
∫
.f au b du F au b C
du
2) ln ;
= +
∫
e du e C= +
cos sin ;udu u C= +
du
∫
2
;d f u du f u du=
;af u du a f u du=
;
ctg ;
10)
78
11)
au
22
22
ln ;
du
uua C
ua
= + ±+
±
∫
2
22
2
22 22
arcsin
22
u au
audu au C
a
− = −+ +
∫
uaC
ua
22
22
;
udu
auC
au
=− −+
−
∫
ln ln ;udu u u u C= −+
∫
=−+
∫
∫
∫
ch sh ;udu u C= +
∫
2
th ;
ch
du
uC
u
= +
∫
sh
du
uC
u
=−+
∫
∫
du u
∫
22
−
arcsin ;
= +
a
C
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
20)
22)
22 22 22
uadu ua uua C+ = ++ + + +
∫
udu
∫
22
±
tg ln cos ;udu u C
sh ch ;udu u C= +
ua
22
= ±+
21)
23)
;
19)
ln ;
ctg ln sin ;udu u C= +
∫
2
;
cth ;
24)
th ln ch ;udu u C= +
25)
cth ln sh .udu u C= +
79
9.5. Основные методы интегрирования
( )
xt= ϕ
T
X
( )
fx
X
( ) ( )
( )
( )
∫∫
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
'f x x dx f x d x f u duϕϕ = ϕ ϕ =
∫∫∫
udv uv vdu= −
∫∫
xa
( ) ( )( )
1
;
1
nn
Adx A
C
xa nxa
−
= +
− −−
∫
( )
2
2
40
Mx N dx
pq
x px q
+
= −<=
++
∫
22
44
−−
1) Замена переменной. Пусть функция
делена и дифференцируема на множестве
– множество значений этой функции, на котором
определена функция
функция имеет первообразную, то на множестве T
справедлива формула
. Тогда, если на множестве
и пусть
'f x dx f t t dt= ϕϕ
опре-
.
2) Подведение множителя
циала.
3) Интегрирование по частям.
9.6. Интегрирование простейших рациональных
дробей
Adx
1)
∫
−
2)
3)
M xp
= + ++ +
ln ;
A xa C
= −+
2
x px q C
ln arctg
2
2
под знак дифферен-
' xϕ
Mp
N
−
2
qp qp
2
+
.
.
;
80
4)
( )
( )
2
2
, 4 0, 1,
n
Mx N dx
pq n
x px q
+
−< >
++
∫
2
xt+=
nn
22
n
I
21
nn
tn
II
( )
1
10
10
nn
−
( )
nm N
nm<
( )
Px
( )
nm
Zx
−
заменой
p
сводится к линейной комбинации интегралов
tdt
∫
22 22
ta kta
+ −+
( )
и
I
=
n
Для вычисления
9.7. Интегрирование рациональных дробей
Рациональная дробь вида
Rx
( )
называется правильной, если
вильной.
Любую неправильную дробь можно представить в
виде суммы:
= +
21
( )
dt
∫
ta
+
( )
= +
2 22
21
an t a
( )
Px
n
= =
Qx
( )
m
n
Qx
m
1
C
1
−
( )
.
n
существует рекуррентная формула
23
n
12
−
an
−+
( )
+ ++
ax a x a
nn
bx b x b
mm
( )
−
mm
+ ++
−
Z x Rx
= +
( ) ( )
nm
−
( )
...
−
1
...
, иначе – непра-
1
−
, где
1
−
−
,
,
.
∈
–