Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
111
Теорема. Если
( )
,z f xy=
( )
;M xy D∈
( ) ( )
,x xt y yt= =
t
( ) ( )
( )
,z f xt yt=
dz z dx z dy
∂∂
∂∂
( )
( )
( )
( )
x
dz z z dy
∂∂
( )
,z f xy=
( ) ( )
,, ,x xuv y yuv= =
( ) ( )
( )
,, ,z f xuv yuv=
u
z zx zy z zx zy
=+=+
( )
z f xy
( )
,, 0F xyz =
z
( )
, ,0
y
x
z
zz
F
F
zz
F
xFyF
′
′
∂∂
′
=−=− ≠
′′
∂∂
ке
ренцируемые функции независимой переменной
производная сложной функции
числяется по формуле:
функция и
– дифференцируемая в точ-
– диффе-
, то
вы-
= +
dt x dt y dt
Частный случай:
,z f xy x=
переменной
Общий случай:
Тогда
висимых переменных
11.2.7. Дифференцирование неявно заданной
функции
Функция
задается уравнением
относительно
– сложная функция одной независимой
.
= +
∂∂
dx x y dx
и v.
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂
u xu yu v xv yv
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂
называется неявной, если она
,
=
. Тогда:
, где
,z f xy=
, где
– сложная функция неза-
,
.
y fx=
.
, неразрешенным
, т. е.
.
.
.
112
Неявная функция
( )
y fx=
( )
,0Fxy =
( )
,0
x
xy
y
F
yF
F
′
′′
=−≠
′
( )
( )
00
;xy
DR∈
( )
000
( )( ) ( )( )
0 00 0 00 0
,,
xy
zz f xy xx f xy yy
′′
−= − + −
( )
000
( ) ( )
0 00
00 00
, ,1
xy
xx yy zz
f xy f xy
− −−
= =
′′
−
( )
,, 0F xyz =
( )
000
;;xyz
( )( ) ( )( ) ( )( )
00 0 00 0 00 0
, , ,0
xyz
Fxy xx Fxy yy Fxy zz
′′ ′
−+ −+ −=
( ) ( ) ( )
0 00
000 0 00 000
,, ,, ,,
xyz
xx yy zz
Fxyz Fxyz Fxyz
−−−
= =
′′′
ется уравнением
11.3. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности
Пусть функция
некоторой области
тельной плоскости к графику функции в точке
;;xyz
имеет вид:
одной переменной зада-
. Для нее
.
дифференцируема в точке
,z f xy=
2
. Уравнение каса-
.
Уравнения нормали в точке
Если поверхность задана уравнением
то уравнения касательной плоскости и нормали в точке
имеют соответственно вид:
;;xyz
имеют вид:
.
,
.
113
11.4. Экстремум функции двух переменных
( )
D
( )
00
( )
00
;xy
( )
( )
00
;xy
( )
;xy
( )
00
( )
( )
00
,,fxy fx y<
( )
( )
00
;xy
( )
( )
00
,,fxy fx y>
( )
00
;xy
( )
00
;xy
D
11.4.1. Основные понятия
Понятия максимума, минимума, экстремума функции
двух переменных аналогичны соответствующим понятиям для функции одной независимой переменной.
Пусть функция
области
Точка
ции
ность точки
личной от
неравенство:
Аналогично определяется точка минимума функции:
для всех точек
окрестности выполняется неравенство:
Значение функции в точке максимума (минимума)
называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстрему-
мами.
В силу определения, точка экстремума функции ле-
жит внутри области определения функции; максимум и
минимум имеют локальный (местный) характер: значе-
ние функции в точке
ниями в точках, достаточно близких к
сти
или не иметь ни одного.
, точка
называется точкой максимума функ-
, если существует такая δ – окрест-
,z f xy=
, что для каждой точки
, из этой окрестности выполняется
;xy
, отличных от
;xy
функция может иметь несколько экстремумов
определена в некоторой
,z f xy=
;Mx y D∈
.
.
.
сравнивается с ее значе-
, от-
, из δ –
. В обла-
114
11.4.2. Необходимые и достаточные условия
( )
( )
,z f xy=
( ) ( )
,0, ,0
xy
′′
( )
,z f xy=
z
( )
00
;xy
( )
,z f xy=
( )
00
;xy
( )
00
,,
xx
A f xy
′′
=
( ) ( )
′′ ′′
2
AB
AC B
BC
∆= = −
экстремума
Теорема (необходимые условия экстремума). Если
в точке
ные в этой точке равны нулю:
;Mx y D∈
00
имеет экстремум, то ее частные производ-
дифференцируемая функция
f xy f xy
Точка, в которой частные производные первого порядка функции
стационарной точкой функции
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна
частная производная не существует, называются кри-
тическими точками.
В критических точках функция может иметь экстре-
мум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным
условием существования экстремума.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в
стационарной точке
сти функция
производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке
B f xy C f xy
= =
,, ,
00 00
xy yy
= =
00 00
равны нулю, называется
.
и некоторой ее окрестно-
имеет непрерывные частные
значения
. Обозначим
.
.
115
Тогда:
0∆>
( )
,z f xy=
( )
00
;xy
0A <
0A >
0∆<
( )
,z f xy=
( )
00
;xy
0∆=
( )
00
;xy
( )
,z f xy=
D
D
m
D
D
( )
D
M
1) если
имеет экстремум: максимум, если
если
2) если
не имеет экстремума.
В случае
а может и не быть. Необходимы дополнительные
исследования.
11.4.3. Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области
Пусть функция
в ограниченной замкнутой области
стигает в некоторых точках
и наименьшего
функцией в точках, расположенных внутри области
или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего
значений в области
следующем:
1) найти все критические точки функции, принадлежащие
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции
на границах области;
3) сравнить все найденные значения функции и выбрать
из них наибольшее
, то функция
;
, то функция
экстремум в точке
определена и непрерывна
своего наибольшего M
значений. Эти значения достигаются
функции
, и вычислить значения функции в них;
и наименьшее m.
в точке
; минимум,
в точке
может быть,
. Тогда она до-
,z f xy=
состоит в
,
116
12 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
D
Oxy
(, )z zxy=
(, )z zxy=
D
Oz
D
D
( )
k
∆σ
( )
( )
kn
x
y
( )
( )
kk
D
O
z
x
y
O
( )
,z zxy=
D
12.1 Объем цилиндрического тела.
Двойной интеграл
Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью
стью
неотрицательна в области
верхностью с образующей параллельной оси
направляющей – границей области
ласть
, где функция
на n произвольных частичных областей
1,...,
∈
.
плоскости
и цилиндрической по-
. Разобьем об-
∆σ
k
;
xy
, поверхно-
непрерывна и
и
117
Выберем в каждой из частичных областей произволь-
( )
,
kk
xy
Oxy
(, )z zxy=
( )
k
∆σ
( )
11
nn
kk
( )
k
∆σ
( )
n →∞
( )
( )
maxdiam 0
1
lim ,
k
n
kk k
k
n
zx y
∆σ →
=
→∞
∆σ
∑
n
(, )z zxy=
( )
( )
( )
maxdiam 0
1
lim , ,
k
n
kk k
k
D
n
zx y zxyd
∆σ →
=
→∞
∆σ = σ
∑
∫∫
( )
,zxydσ
ную точку с координатами
ческого тела между опорной плоскостью
верхностью
площадью
над частичной областью
равен
V zx y∆ ≈ ∆σ
k kk k
. Объем цилиндри-
и по-
,
. Объем все-
∆σ
k
го цилиндрического тела равен
V V zx y
= ∆ ≈ ∆σ
∑∑
k kk k
= =
,
( )
Устремим наибольший диаметр частичных областей
к нулю, при этом
maxdiam 0
∆σ →
k
рассмотрим предел интегральной суммы
Если этот предел существует, то
V zx y
= ∆σ
lim ,
maxdiam 0
n
→∞
∆σ →
( )
k
∑
k
1
=
( )
kk k
Определение. Двойным интегралом от функции
по области D называется предел, к которо-
му стремится интегральная сумма при стремлении к
нулю наибольшего диаметра частичных областей
Здесь
– подынтегральное выражение;
.
,
и
.
.
.
118
(, )zxy
– подынтегральная функция;
dσ
D
( )
D
(, )zxy
D
k
∆σ
( )
,
kk
xy
( ) ( )
( )
D
∫∫
( ) ( )
DD
∫∫ ∫∫
( ) ( )
DD
∫∫ ∫∫
12
DD D=
12
DD= ∅
( ) ( ) ( )
12
,,,
DDD
∫∫ ∫∫ ∫∫
( )
,xy D∀∈
( ) ( )
12
,,z xy z xy≥
( ) ( )
12
,,
DD
∫∫ ∫∫
– элемент площади;
– область интегрирования.
Таким образом
.
V z xyd= σ
Теорема существования двойного интеграла
Если
области
делу при стремлении к нулю наибольшего диаметра
частичных областей. Этот предел не зависит от способа
разбиения области на частичные области
в них точек
Свойства двойных интегралов
1)
непрерывна в замкнутой ограниченной
, то ее интегральная сумма стремится к пре-
.
, ... ,
z xy z xy d± ± σ=
1
n
,
∫∫
и выбора
2) , , , .
3)
4) Если
, ... ,
z xyd z xyd= σ± ± σ
1
cz x y d c z x y d c constσ= σ =
,
zxyd z xyd zxydσ= σ+ σ
z xyd z xydσ≥ σ
n
. Тогда
.
.
.
, то
119
5) Если
наим
mz вD=
наиб
Mz вD=
( )
,
D
mS z x y d MS≤ σ≤
∫∫
D
Sd
( ) ( ) ( )
D
( )
z
D
dx
d dxdyσ=
( ) ( )
,,
DD
z x y d z x y dxdyσ=
∫∫ ∫∫
D
D
Oy
( ) ( )
{ }
12
:,D a x byx y y x≤≤ ≤≤
x
y
dσ
D
O
,
, где
= σ
∫∫
, то
.
6)
значение
Вычисление двойных интегралов
Разобьем область
осям координат с шагом
Тогда
Пусть
прямая, проходящая через внутреннюю точку
раллельно
, , ,,
zxyd z S Dσ= ξη ξη ∈
∫∫
в области D.
с помощью линий, параллельных
и dy соответственно.
и, следовательно,
- правильная в направлении Oy, т. е. всякая
, пересекает границу D ровно в двух
.
– среднее
,z ξη
.
па-
точках. Тогда
.
120
Вычисление двойного интеграла сводится к вычисле-
y
( )
D
( )
( )
( )
2
1
,
yx
b
a yx
z x y dy dx
=
∫∫
z
x
y
O
( )
,0
D
b a
y
x
b
A B
( )
1
y yx=
d
c
( )
2
yyx=
a
E
C
O
D
нию повторного, т. е. вычисляется сначала внутренний
интеграл по
(x предполагается постоянной), а
z zxy= >
V z x y dxdy= =
,
∫∫