Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
121
( )
( )
( )
2
1
,
yx
b
a yx
dx z x y dy=
∫∫
.
D
( ) ( )
{ }
12
:,Dc y dxy x x y≤≤ ≤≤
( )
,
D
z x y dxdy =
∫∫
( )
( )
( )
2
1
,
xy
d
c xy
dy z x y dx=
∫∫
yx=
0y =
xa=
Ox
( )
,,
yx=
xa= a
y
x
0y =
a
O
Если область
Правые части формул называются повторными (или
двукратными) интегралами. Процесс расстановки пределов интегрирования называется приведением двойного интеграла к повторному.
Пример:
Область D ограничена линиями
она правильная и в направлении Oyи в направлении
. Поэтому
,Dz x y dxdy =
∫∫
– правильная в направлении Ox, то
и тогда
,
ax aa
dx z x y dy dy z x y dx=
( ) ( )
∫∫ ∫∫
00 0
y
.
,
,
.
122
12.2. Замена переменных в двойном интеграле
,xy
,uv
( ) ( )
,, ,x xuv y yuv= =
( )
∫∫
( ) ( )
D
∫∫
J
( )
( )
,
.
,
xx
uv
xy
xy xy
J
uv u v v u
yy
uv
∂∂
∂∂
∂
∂∂ ∂∂
= = = −
∂ ∂∂ ∂∂
∂∂
∂∂
D
D
,.uv
( ) ( )
,, ,x x uv y yuv= =
D
D
∗
D
D
∗
( )
,Mrϕ
ϕ
r
O-полюс
u
Полярная ось
При переходе от переменных
двойной интеграл примет вид
к переменным
,Dz x y dxdy =
∗
где
– функциональный определитель Якоби (якобиан).
Итак,
1. область
2.
d J dudvσ=
Предполагается, что функции
непрерывны со своими частными производными в
и устанавливают взаимно однозначное соответ-
ствие между точками
быть, отдельных точек.
12.3. Двойной интеграл в полярных координатах
заменяем на
– элемент площади в координатах
,, ,
z x u v y u v J dudv
∗
;
и
, за исключением, может
,
,
123
r M OM=
( )
Mϕ
,r ϕ 0 ,0 2r≤ <∞ ≤ϕ< π
( )
2−π < ϕ < π
{
yy
xx
xy xy
J
rr
∂∂ ∂∂
=−=
∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂
22
rrr
( )
,f xy
D
( )
∫∫
( )
D
∫∫
d rdrdσ= ϕ
( )
1
ϕ
2
ϕ
u
O
( )
rr
( )
Положение любой точки определяется заданием
Связь декартовых и полярных координат:
Вычислим якобиан:
– полярный радиус.
– полярный угол.
или
cos ,
xr
= ϕ
sin .
yr
= ϕ
.
22
r xy
= +
tg arctg .
ϕ= ⇒ϕ=
,
cos sin .
ϕ+ ϕ=
Двойной интеграл от функции
в полярных координатах примет вид:
,Df x y dxdy =
Элемент площади в полярных координатах вычис-
ляется по формуле
Пример:
rr= ϕ
1
cos , sin .
f r r rd dr
∗
ϕ ϕϕ
.
= ϕ
2
по области
124
( )
( )
( )
2
2
11
cos , sin
r
r
I d f r r rdr
ϕ
ϕ
ϕϕ
=ϕ ϕϕ
∫∫
( )
,xyµ=µ
( )
,dM x y d=µσ
( )
,
D
M xyd=µσ
∫∫
( )
D
=µσ
( )
D
=µσ
( )
( )
..
,
,
y
D
цт
D
x xyd
M
x
M
xyd
µσ
= =
µσ
∫∫
∫∫
x
y
D
O
12.4. Приложения двойных интегралов
1) Масса плоской пластинки. Поверхностная плотность
.
.
Элемент массы равен
Масса всей пластинки равна
2) Статические моменты инерции и центр тяжести пластинки.
,
M y xyd
x
∫∫
,
M x xyd
y
∫∫
,
.
,
.
.
125
( )
( )
..
,
,
x
D
цт
D
y xyd
M
y
M
xyd
µσ
= =
µσ
∫∫
∫∫
.
2
x
D
I yd= σ
∫∫
2
y
D
I xd= σ
∫∫
D
Oz
( )
xy
D
( )
( )
,, .xyzγ=γ
n
( ) ( )
( )
12
, , ...,
n
VV V
12
, ,..., .
n
VV V∆∆ ∆
z
x
y
V O
3) Моменты инерции пластинки ,
Центробежный момент инерции
I xyd= σ
xy
∫∫
.
.
Полярный момент инерции относительно оси
I x yd I I= + σ= +
0
13. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
13.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл
Рассмотрим тяжелое тело
стью
Разобьем тело произвольным образом на
22
∫∫
объемами
.
с переменной плотно-
V
частей
126
Выберем в каждой части
( )
k
V
( )
,, .
( )
k
V
( )
,, .
k kkk k
M xyz V∆ ≈γ ∆
11
nn
kk
n
γ∆
( )
,,xyzγ=γ
n
V
( )
,,f xyz
V
( )
( )
1
, , lim , , .
n
kkk k
n
k
V
fxyzdV fx y z V
→∞
=
= ∆
∑
∫∫∫
( ) ( )
( )
1
, , ... , ,
n
V
f xyz f xyz dV±± =
∫∫∫
M xyz
k kkk
Просуммируем массу всех частей
Масса части
произвольную точку
приближенно равна
M M xyz V
=∆≈γ ∆
∑∑
k k kk k
= =
Выражение в правой части называется интегральной суммой. Устремим наибольший диаметр элементарных объемов к нулю и рассмотрим предел
lim , , .
max 0
∅∆ →
{ }
→∞
n
Если этот предел интегральной суммы существует, то,
очевидно, он равен массе тела и называется тройным
интегралом от функции
lim , , , , .
M x y z V x y z dV
= γ ∆= γ
∑
→∞
n
1
=
k
Вообще, тройным интегралом от функции
по области
Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралы:
1)
называется предел интегральной суммы
∑
V
k
=
k
( )
kkk k
,, .
( )
xyz V
( )
kkk k
1
∫∫∫
по области V
( )
127
( ) ( )
1
, , ... , , .
n
VV
f x y z dV f x y z dV= ±±
∫∫∫ ∫∫∫
( ) ( )
,, ,, .
VV
cf x y z dV c f x y z dV=
∫∫∫ ∫∫∫
12
VVV=
12
VV= ∅
( ) ( ) ( )
12
V VV
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
( )
,,xyz V∀∈
( ) ( )
12
,, ,,f xyz f xyz≥
( ) ( )
12
,, ,, .
VV
f x y z dV f x y z dV≥
∫∫∫ ∫∫∫
наим
mf вV=
наиб
Mf вV=
( )
,,
V
mV f x y z dV MV≤≤
∫∫∫
.
V
V dV=
∫∫∫
( ) ( ) ( )
V
( )
( )
∫∫∫
V
2)
3)
4) Если
5) Если
6)
f x y z dV f V V= ξης ξης ∈
∫∫∫
,,f ξης
13.2. Вычисление тройных интегралов
1) Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл
Разобьем область интегрирования
части плоскостями, параллельными координатным
,
,, ,, ,, .
f x y z dV f x y z dV f x y z dV= +
,, ,, , ,, .
– среднее значение f в области V.
I f x y z dV=
. Тогда
,
, где
,, .
V
, то
, то
на элементарные
128
плоскостям. Тогда элементарный объем равен
.dV dxdydz=
( )
∫∫∫
( )
( )
cos , sin , ,xr yr zz= ϕ = ϕ=
( )
0 ,0 2, .rz≤ < +∞ ≤ ϕ < π −∞ < < +∞
.Jr=
( ) ( )
, , cos , sin , .
V
V
f x y z dxdydz f r r z rd drdz
∗
= ϕϕ ϕ
∫∫∫ ∫∫∫
sin cos , sin sin , cos ,xr yr zr= θ ϕ= θϕ= θ
( )
0 ,0 2,0 .r≤ <+∞ ≤ϕ< π ≤θ≤π
z
x
y
( )
2
yyx=
a
b
( )
2
,z z xy=
( )
1
,z z xy=
O
( )
1
y yx=
Следовательно
I f x y z dxdydz=
Правило вычисления тройного интеграла
,, .
V
y x z xy
22
b
I f x y z dxdydz dx dy f x y z dz= =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
2) Цилиндрические координаты.
Якобиан преобразования равен
Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет вид
3) Сферические координаты.
,, ,, .
( )
V a y x z xy
( )
11
( )
,
,
( )
129
2
sin .Jr= θ
( )
,,
V
f x y z dxdydz =
∫∫∫
( )
2
V
( )
,,xyzγ
M
( )
,, :Oxy Oxz Oyz
( )
∫∫∫
( )
,, ,
xz
V
M y x y z dv= γ
∫∫∫
M M
′
x
x
y
z z
θ
ϕ
r
O
Якобиан преобразования вычисляется по формуле
Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет вид
sin cos , sin sin , cos sin .
f r r r r d drd
= θ ϕ θ ϕ θ θϕ θ
∫∫∫
∗
V
13.3. Приложения тройных интегралов
Пусть дано тело
Массу тела
1) Статические моменты инерции тела относительно
координатных плоскостей
M z x y z dv= γ
xy
V
переменной плотности
можно вычислить по формуле
M x y z dv= γ
∫∫∫
V
,, ,
,, .
.
130
( )
M x x y z dv= γ
( )
( )
( )
( )
,,
.
,,
xy
V
цт
V
z x y z dv
M
z
M
x y z dv
γ
= =
γ
∫∫∫
∫∫∫
( )
γ=
MV
,
xz V
цт
ydv
M
y
MV
= =
∫∫∫
.
xy
V
цт
zdv
M
z
MV
= =
∫∫∫
( )
( )
=γ+
yz
∫∫∫
V
2) Координаты центра тяжести:
x x y z dv
∫∫∫
M
yz
M
xz V
M
V
γ
∫∫∫
V
y x y z dv
∫∫∫
γ
∫∫∫
V
x
цт
y
цт
= =
M
= =
,, .
,,
γ
,,
x y z dv
( )
,,
γ
,,
x y z dv
( )
,
,
Если тело однородно, т. е.
xdv
∫∫∫
M
yz
= =
x
цт
3) Моменты инерции тела относительно координатных
осей:
V
J x y z y z dv
x
∫∫∫
V
,, ,x y z const
,
,, ,
22
то