Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
231
( )
( )
1n
fx
+
, то для всякой точки, принадлежащей интер-
( )
,.xx
( )
( )
( )
( )
00
0.n fx fx f x x
′
=⇒ = +ξ−
( )
( ) (
)( )
(
)
( )
2
0 00 0
1
2!
f
n fx fx f x x x x x
′′
ξ
′
=⇒ = + −+ −
( )
( ) ( )( )
0 00
.fx fx f x xx
′
≈+ −
ξ
( )
n
Rx
( )
( )
1
1
.
n
n
f xM
+
+
≤
x
( )
( )
1
0
1
.
1!
n
nn
xx
Rx M
n
+
+
−
<
+
( )
n
Rx
( )
0
n
Rx→
валу, остаточный член равен
xx
−
( )
1
n
+
Rx f
( )
n
Частные случаи
1)
Лагранжа.
( )
= ξ
( )
n
( )
+
0
n
1!
1
+
,
где
ξ∈
Это – формула
0
2)
или
проксимация.
Так как
нить.
Пусть в области сходимости
гда для всякого
сти,
Если исследование остаточного члена
ставляет затруднения, то:
1) разлагаем функцию в ряд Тейлора,
2) находим интервал сходимости,
3) доказываем, что
лежащего интервалу сходимости.
– неизвестна, то
, принадлежащего области сходимо-
Это линейная ап-
можно только оце-
для всякого x, принад-
То-
пред-
232
18.4.4. Разложение функций в ряды Тейлора
( )
00
n
n
x
( )
n
0
,x
( )
fx
( )
fx
0
0x =
( )
( )
( )
0
0
.
!
n
n
n
f
fx x
n
∞
=
=
∑
x
0
n
n
ex
1x =
0
1
.
!
n
e
n
∞
=
=
∑
и Маклорена
Разложение функций проводится в два этапа:
1) Вычисляются производные
Предполагается, что для
-й производной можно по-
лучить общую формулу, зависящую от
,..., ,...
fx f x
( )
( )
и значения
порядка производной. Составляется ряд Тейлора.
2) Находится интервал, где ряд Тейлора сходится, т. е. остаточный член ряда
Rx→
Теорема. Если в некоторой окрестности точки
0.
аб-
солютные величины всех производных функции
ограничены одним и тем же числом, то функция
в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Особенно часто используют разложение при
:
Этот ряд называется рядом Маклорена.
18.4.4.1. Разложение функции
fx e=
( )
в ряд Маклорена
∞
x
x
= ∈ −∞ ∞
, ,.
∑
!
n
=
( )
.
В частности, для
233
18.4.4.2. Разложение функции
( )
sinfx x=
1
1
n
n
xx
−
( )
cosfx x=
( )
( )
( )
2
0
1
cos , , .
2!
n
n
n
x
xx
n
∞
=
−
= ∈ −∞ ∞
∑
( )
( )
2
1
1 1 ...
2!
m
mm
x mx x
−
+ =+ + ++
( ) ( )
( )
1 ... 1
...
!
n
mm m n
x
n
− −−
++
( )
1,1 .x∈−
m
1m = −
0
n
∞
=
m
в ряд Маклорена
21
n
∞
1
−
sin , , .
18.4.4.3. Разложение функции в ряд Маклорена
Замечание. Нечетные функции раскладываются по не-
четным степеням. Четные функции раскладываются по
четным степеням.
18.4.4.4. Биномиальный ряд
( )
= ∈ −∞ ∞
∑
2 1!
( )
=
−
x
n
−
( )
Если
бинома Ньютона.
Для разных
одна или обе границы.
– целое и больше нуля, то получим формулу
Для
1
могут входить в область сходимости
= − ∈−
1
∑
x
+
n
n
1 , 1, 1 .
xx
( ) ( )
234
18.4.4.5. Разложение функции
( ) ( )
ln 1fx x= +
1
n
n
xx
∞
1x =
(
]
1,1 .x ∈−
1
n
∞
=
0,000001ε=
100000n =
( )
arctgfx x=
01
0
nn
nn
nn
+−
∞∞
==−=−
+−
[ ]
1,1x ∈−
( ) ( )
0
1 , ,.
!
n
n
x
n
x
ex
n
∞
−
=
= − ∈ −∞ ∞
∑
( )
( )
( )
2
00 0
1
ch 1 , , .
2 ! ! 2!
n nn
n
nn n
x xx
xx
n nn
∞∞ ∞
= = =
= + − = ∈ −∞ ∞
∑∑ ∑
в ряд Маклорена
x
1
n
−
n
1
1
n
−
Ряд сходится, но очень
n
При
но
Пример:
ln 1 1 , 1,1 .
+ = − ∈−
( ) ( ) ( )
∑
=
ряд сходится условно. Поэтому окончатель-
ln 2 1 .
= −
( )
∑
плохо. Из теоремы Лейбница видно, что для точности
необходимо
членов ряда.
Позже покажем, как улучшить сходимость.
18.4.4.6. Разложение функции в ряд Маклорена
x
dx x x
x
arctg 1 1 ,
∫
2
1
x
+
( ) ( )
∑∑
nn
= =
21 21
−
1
21 21
.
18.4.4.7. Примеры
1)
235
( )
( )
21
00 1
1
sh 1 ,
2 ! ! 2 1!
n nn
n
nn n
x xx
x
n nn
−
∞∞ ∞
= = =
= −− =
−
∑∑ ∑
( )
,x∈ −∞ ∞
2
0
n
n
ex
=
( )
fx
0
.x
( )
.
n
Rx
0
.
!
k
n
x
k
x
e
k
=
≈
∑
[ ]
( )
( )
0, .
n
M
M nf x e∀≤
1
1!
n
+
1M =
11
3.
nn
++
<<<<ε
510−
ε=
( )
5
3
10 8.
1!
n
n
−
< ⇒=
+
.
∞
2)
2
−
x
= − ∈ −∞ ∞
∑
x
n
1 , ,.
( ) ( )
!
n
18.4.5. Приближенное вычисление значений функций
Пусть функция
окрестности точки
представима рядом Тейлора в
Тогда точное значение функции
можно вычислить с помощью ряда Тейлора, а приближенное значение – по его частичной сумме. Ошибку
можно оценить по остатку ряда
Рассмотрим на
примерах.
Примеры: 1.
В интервале
По теореме об оценке остаточного члена ряда
x
Rx e
n
При
Если
Rx e
( )
n
, то
M
<
( )
n
+
( )
xx
n nn
1! 1! 1!
+ ++
( )
.
3
( ) ( )
236
11
1 1 ... 2,71828.
2! 8!
e ≈++ + + ≈
sin , 0,0001.x ε=
3
6
35
6 120
35 7
6 120 5040
ln2, 0,000001.ε=
1
n
n
xx
∞
11
nn
nn
∞∞
∑∑
35
2 ... ,
35
xx
x
= +++
( )
1,1x∈−
sinyx=
3
6
x
yx= −
35
6 120
xx
yx=−+
y
x
yx=
2.
n xx Rx x= ≈ <∈
1, sin , , 0;0.08 .
n xx Rx x= ≈− < ∈
2, sin , , 0;0.4 .
n xx Rx x= ≈− + < ∈
3, sin , , 0;0.9 .
x
( ) ( )
n
xx
xx x
( ) ( )
n
( ) ( )
n
3.
ln 1 , 1,1 .
− =− ∈−
( )
1
+
ln ln 1 ln 1 1
1
−
∑
=
x xx
= +− −= − + =
( ) ( ) ( )
x nn
x
n
)
[
xx
n
= =
.
237
11
2.
13
x
x
x
+
=⇒=
−
33 3
4.n =
33 33
0
( )
fx
( )
Fx
( )
Fx
( )
n
Rx
( )
*
n
Rx
( )
Fx
ln2 2 ... ... .
ln2 2 0,693144.
18.4.6. Интегрирование функций
Пусть нужно найти
Пусть известно разложение функции
Тейлора и пределы интегрирования лежат в интервале
сходимости ряда. Тогда можно интегрировать почлен-
но. В итоге получим ряд для функции
тот же интервал сходимости, что и исходный.
Если интеграл выражается через элементарную функцию, то получим ее разложение в ряд Тейлора. Если
функция
выражается, то найдем разложение неэлементарной
функции в ряд Тейлора.
Зная оценку
можно получить оценку
1 11 11 1 1
≈ + + ++ +
≈ + + ++ + ≈
3 5 21
33 5 2 1
1 11 11 11 11
35 79
33 5 7 9
F x f x dx=
( ) ( )
в элементарных функциях не
для подынтегральной функции,
+
x
∫
для
nn+
.
.
, имеющий
в ряд
238
Пример: Интегральный синус
0
sin
x
x
dx
x
∫
1
1
n
n
xx
−
( )
( )
( )
1
22
1
1
sin
, ,.
2 1!
n
n
n
x
x
x
xn
−
−
∞
=
−
= ∈ −∞ ∞
−
∑
( )
35
0
sin
3!3 5!5
x
x xx
dx x x
x
= − + − ∈ −∞ ∞
∫
( )
fx
2π
(
]
,−π π
1
nn
n
=
++
степенным рядом.
21
n
∞
1
−
sin , , .
Этот ряд не сходится ни к какой элементарной функции.
19. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
19.1. Ряд Фурье в действительной форме
Рядом Фурье периодической функции
( )
= ∈ −∞ ∞
∑
2 1!
( )
=
−
x
n
−
представить
( )
с перио-
дом
где
, заданной на интервале
∞
a
0
2
π
1
a f x nxdx n
= =
n
b f x nxdx n
= =
n
( ) ( )
∫
π
−π
π
1
( ) ( )
∫
π
−π
cos sin
a nx b nx
( )
∑
cos 0,1,2,...
sin 1,2,...
, называется ряд
,
,
.
239
Теорема Дирихле. Пусть функция
( )
fx
(
]
(
]
,−π π
( )
Sx
( ) ( )
( )
fx
(
]
000
1
00
2
0
x
00
2
x = ±π
( )
fx
(
]
,ll−
1
nn
n
ll
∞
ππ
=++
( )
( )
1
sin 1,2,...
l
n
l
nx
b f x dx n
ll
−
π
= =
∫
кусочно монотонна и является непрерывной за
,−π π
исключением конечного числа точек разрыва I рода
(т. е. удовлетворяет условиям Дирихле). Тогда ряд
Фурье этой функции сходится в каждой точке интерва-
ла
1)
Sx fx=
и сумма
во всех точках непрерывности функции
этого ряда:
на интервале
, лежащих внутри интервала
2)
Sx fx fx
= −+ +
( ) ( ) ( )
разрыва I рода;
3)
Sx f f= −π+ + π−
Если функция
ряд Фурье
где
1
( ) ( ) ( )
задана на интервале
a
fx a b
1
a f x dx n
= =
n
ll
0
( )
l
∫
l
−
∑
2
=
nx
π
cos 0,1,2,...
( ) ( )
,−π π
, где
при
nx nx
cos sin
.
;
– точка
.
, то ее
,
,
240
Если
( )
fx
( )
0
1
cos
2
n
n
a
nx
fx a
l
∞
=
π
= +
∑
( )
( )
0
2
cos 0,1,2,...
l
n
nx
a f x dx n
ll
π
= =
∫
( )
fx
1
n
=
0
( )
fx
[ ]
0,l
( )
,0l−
( )
fx
(
]
( )
i nx
l
n
n
f x ce
π
∞
=−∞
=
∑
( )
1
2
i nx
l
l
n
l
c f x e dx
l
π
−
−
=
∫
– четная функция, ее ряд Фурье
,
где
Если
где
Если функция
простоты разложения ее в ряд Фурье достаточно до-
определить ее на интервале
ным образом.
19.2. Ряд Фурье в комплексной форме
Если функция
удовлетворяет условиям Дирихле, то ее ряд Фурье в
комплексной форме записывается в виде
где
– нечетная функция, ее ряд Фурье
∞
fx a
=
( )
∑
l
2
= =
b f x dx n
n
∫
ll
π
nx
sin 1,2,...
( ) ( )
задана на отрезке
задана на интервале
π
sin
n
.
nx
l
четным или нечет-
,
,
.
, то для
и
,ll−
,