Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
201
17.4.4. Случай кратных корней характеристического
2,
2,
3 3 2.
x xyz
y x yz
z xyz
′
= +−
′
=+−
′
=+−
1
0r =
( ) ( ) ( )
11111 1
, , 3.x Сy Сz С= = =
2,3
1r =
( ) ( ) ( )
123
+−=
2323
1 23
,, .kCkCkCC
( )
2 3 1 23
,, ,
tt t
x Сe y Сe z C C e= = = +
33 3
tt
tt
уравнения
Для кратных корней решение усложняется. Если для
одного уравнения можно сразу написать структуру общего решения, то здесь иначе. Покажем на примерах.
Примеры: 1.
2 11
r
Решение.
(**) при
0, 1, 3.
r kk k
= = = =
1
Для кратного корня
сводится к одному уравнению
Произвольно можно задать две величины
Тогда
, 0, ;
x ey z e
= = =
2 22
0, , .
x y ez e
= = =
−−
1 2 1 2 1 0.
3 32
111
2 0,
kkk
123
1 11
( ) ( ) ( )
k kk
+ −=
1 23
r rr r
− − =− − +=
−−
имеем
+−=
2 0,
= = = +
2
(
r
11 1
( ) ( ) ( )
12 3
система уравнений (**)
222
)
т. е.
Из
0.kkk
202
Получили фундаментальную систему решений, так как
( )
12
13
1 23
,
,
3.
t
t
t
x C Ce
y C Ce
z C C Ce
= +
= +
=++
,
4 2,
2.
x xy
y xy z
z yz
′
= −
′
= −+
′
= +
1, 1.rr=−=
1
1r = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
11 1
12
123
11
13
2 0,
1, 2, 2
4 2 0,
kk
kk k
kk
−=
= = = −
+=
11 1
tt t
−− −
2,3
1r =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
22
2
12
222
123
0,
1, 0,
4 2 2 0,
k
kk
kkk
−=
= =
−+=
( )
2
3
2k = −
2 22
, 0, 2 .
tt
x ey z e= = = −
113
t tt
We e e
= = ≠
0 0.
tt
oe e
2
Общее решение
2.
1 10
Решение.
1 2,3
Из (**) при
−−
4 1 2 1 1 0.
0 21
r
r rr
−− =− − + =
Из (**) при
xe y e z e
, 2, 2.
= = = −
,
(
r
−
2
)
( )
, имеем
,
203
Третье решение таким способом получить не удастся.
, ,,
t tt
,
ii
αβ
,,xyz
( )
( )
( )
11 1 11 2 2
2 2 2 11 2 2 3 3
33 3 22 33
,
4 2,
2.
t tt
t tt t
t tt
α +β +β =α +β −α +β
α +β +β = α +β −α −β + α +β
α +β +β = α +β +α +β
,t
12 1223 32
2 123 2
0, 4 2 2 0, 2 0,
0, 4 2 2 0, 2 0.
β+α = −α+α+β−α= β−α =
β = −β+β−β= −β =
1 22 3
,,CCα= α =
1 32 3 33 2 3
, 0, 2 , 2 .C C CCβ=− β = β= α=− +
2 2.
23
1, 0.CC= =
23
0, 1,CC= =
( )
3 33
, , 12 .
tt t
x te y e z t e=−==+
Будем искать решение в виде
x te y te z te= α +β = α +β = α +β
( ) ( )
11 2 2 3 3
где
эффициентов. Продифференцируем
вим в систему дифференциальных уравнений.
После сокращения на
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
получим:
определяются методом неопределенных ко-
получим
,te
( )
и подста-
Полагая
Итак
x C Ct e
= −
( )
y Ce
=
z C C Ct e
=− ++
( )
Решение с индексом 2 получается, если
Если положить
ние
Три решения образуют фундаментальную систему ре-
шений.
имеем
t
23
t
,
3
23 3
,
получим третье реше-
t
204
Правило. Если характеристическое уравнение системы
r
m
rt rt
rt
1.m −
( ) ( )
( ) ( )
1 11 1 1
11
... ,
...............................
... .
nn
n n nn n
x a tx a tx
x a tx a tx
′
= ++
′
= ++
n nn
aa
aa
( )
( )
11
,.
nn
X AX
′
=
( )
11
... .
nn
X CX C X= ++
дифференциальных уравнений имеет корень
, то ему отвечает решение, зависящее от m про-
сти
извольных постоянных
x P te x P te= =
11
,..., ,
( ) ( )
кратно-
nn
где
x Pte=
ii
17.4.5. Матричная форма записи однородной системы дифференциальных уравнений
Пусть
Тогда
– матричная запись системы.
Частные решения
Общее решение
– многочлены степени не выше
( )
11 11n
A
=
xt xt
Xt X t
( )
... ...
= =
... ...
xt xt
( )
Xt
′
( )
(1)
xt
1
=
( )
i
xt
,
′
′
( )
i
...
.
...
ni
( )
205
Определение. Система векторных функций
i
X
( ) ( )
11 1
... 0 ... 0.
nn n
Xt X tλ + +λ = ⇔λ = =λ =
( ) ( )
( ) ( )
11 11n
n nn
xt xt
xt x t
t
( )
11
... ...
.
... ...
rt
rt
rt
n
n
ke k
Xt e
k
ke
= =
( )
1
...
.
...
rt
n
k
X t re
k
′
=
( )
Xt
( )
Xt
′
,
rt rt
reK AeK=
n
( )
0,rK AK A rE K= ⇒− =
E
,A
11 1
1
0 0.
n
n nn
ar a
A rK
a ar
−
−=⇔ =
−
вается линейно независимой, если
Это выполняется, если определитель
назы-
не равен нулю для всякого
Для однородной системы с постоянными коэффици-
ентами решение ищем в виде:
Подставим
ных уравнений (1)
– единичная матрица, r – собственное число
где
матрицы
Характеристическое уравнение
и
K – собственный вектор матрицы .A
.
Тогда
в систему дифференциаль-
k
1
где
...
=
K
...
k
.
(2)
(3)
206
Из (3) находим собственные числа матрицы (корни ха-
1
,u
2
,..., ,...
n
uu
12
... ...
n
uu u+ ++ +
12
, ,..., ,...
n
uu u
1nn
∞
n
u
( )
n
1
kn
∞
= +
1 11 1
... ...
24
22
n
nn
u = ⇒+++ +
1 11 1
! 1! 2! !
nn
рактеристического уравнения), а из (2) – собственные
векторы.
18. РЯДЫ
18.1. Числовые ряды
18.1.1. Определение ряда и его суммы
Пусть дана бесконечная последовательность
.
Определение. Выражение
ется рядом, а числа
– членами ряда.
называ-
Краткая запись
∑
.
u
=
– общий член ряда.
Ряд считается заданным, если задана функция
u fn=
n
Если отбросить первые
.
членов ряда, то получится
ряд
uu u
+ +=
12
nn k
++
...
∑
называемый остатком ряда.
Примеры: 1)
2)
u
= ⇒ + ++ +
n
... ...
.
Иногда ряд задают рекуррентной формулой.
,
.
207
Пример:
12 1 2
111
1, , .
223
nn n
uu uu u
−−
= = = +
3
11 1 7
1,
2 2 3 12
u = ⋅ + ⋅=
12
... ...
n
uu u+ ++ +
12
...
nn
S uu u= + ++
{ }
n
S
11
,Su=
,
nn
S uu
= +
{ }
n
S
lim ,
SS
=
1nn
=
{ }
1nn
∞
lim ;
S→∞= ∞
lim .
S
1
n
=
≠<
1
,
1
n
n
q
Sa
q
−
=
−
Тогда
и т. д.
Пусть дан ряд
– частичная сумма ряда. Образуем
последовательность частичных сумм
212
.............
S uu u
= + ++
12
............. .
... ,
Определение. Если существует предел последовательности
то ряд
довательность
u
∑
=
n
→∞
n
∞
сходящийся и S – его сумма. Если после-
u
∑
не стремится к пределу, то ряд
S
n
расходящийся.
Последнее имеет место в двух случаях:
1)
n
Примеры: 1)
2) не существует
n
∞
n
aq a q
∑
( )
0, 1 ;
→∞
n
. Обозначим
:
n
208
1
n
qa
qq
( )
1
0, 1 ;
n
n
aq a q
∞
=
≠=
∑
,
n
S na=
lim .
n
S→∞= ∞
1
n
∞
=
≠=−
1 23
, 0, , ...;S aS S a=−==−
lim
n
S
12
... ...
n
uu u+ ++ +
12
... ...
n
uu uλ +λ + +λ +
12
... ...
n
uu u+ ++ +
12
... ...
n
vv v+ ++ +
иSS
′ ′′
( ) ( )
( )
′ ′′
lim 0.
u→∞=
lim 0,
u→∞≠
lim lim .
nn
= = =
Sa S
n
→∞ →∞
−
11
−−
2)
3)
aq a q
∑
n
0, 1 ;
( )
не существует.
n
→∞
n
Свойства сходящихся рядов
1) Если ряд
ряд
2) Если ряды
сходятся и имеют суммы
uv u v u v SS
± + ± ++ ± += ±
11 2 2
сходится, то сходится
.
и
, то сходится ряд
... ... .
nn
3) Если ряд сходится, то сходится и ряд, в котором выброшено конечное число членов.
Следствие. Если ряд сходится, то сходится и любой его
остаток.
18.1.2. Необходимый признак сходимости ряда.
Гармонический ряд
Необходимый признак. Если ряд сходится, то
n
n
Если
n
n
то ряд расходится.
209
Пример:
12
... ...,
101 201 100 1nn
+ ++ +
+
1
lim lim 0.
100 1 100
n
nn
n
u
n
→∞ →∞
+
lim 0
n
u→∞=
11n
∞
1
n
1 11 1111 1 1
1 ... ...
2 44 8888 16 16
>++ + + +++ + ++ +=
2222
=+++++
n
S =
lnnnC= + +ε
0,5772...;C =
0,nnε → →∞
11n
∞
1α>
1α≤
Ряд расходится.
Замечание. Вообще условие
не означает
n
сходимости ряда.
lim lim 0.
u
Гармонический ряд
∑
.
n
nn
=
= =
n
→∞ →∞
шем ряд в виде
1 11 1111 1 1
++ + + +++ + ++ +>
1 ... ...
2 34 5678 9 16
1111
1 ...
.
Новый ряд расходится. Значит, гармонический ряд расходится. Частичная сумма гармонического ряда
(C – постоянная Эйлера:
).
Обобщенный гармонический ряд
при
и расходится при
(см. п. 18.1.3.4).
∑
=
сходится
α
n
Запи-
210
Пример:
1
n
=
1 111 1
1 ... ... ,
2
n
n
Sn
nnn nn
=+ ++ > + ++ = =
nn
Sn
>=∞
12
... ...
n
uu u+ ++ +
0.
n
nu∀>
,
n
SM<
.
n
SS<
lim .
n
n
S→∞= +∞
1nn
∞
1nn
∞
( )
0, 0
nn
uv>>
.
nn
nu v∀≤
∞
∑
1
α= <
( )
n
1/2 1 .
lim lim .
n
→∞ →∞
18.1.3. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости ряда
18.1.3.1. Признаки сравнения Рассмотрим ряд
такой, что
Лемма. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху
то ряд схо-
дится.
Если ряд сходится, то Если ряд с положительными членами расходится, то
Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положи-
тельными членами
∑
(1),
u
=
∑
(2)
v
=
и