Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
31
Расстояние от т.
000
(, )Mxy
000
222
Ax By Cz D
d
ABC
+++
=
++
()P
2
()P
1
N
2
N
12
12
cos
NN
NN
⋅
ϕ=
12
0NN×=
111
222
ABC
ABC
12
⋅=
12 12 12
0AA BB CC++=
( )
1
P
1
(2; 3;1)A −
2
( 1; 4; 2)A −−
3
(4; 1; 2)A −
( )
2
P
1
A
(0;1;1)a
( )
1
P
( )
Для плоскостей
торами
и
соответственно:
до плоскости (P):
.
и
1
с нормальными век-
1) угол между плоскостями:
2) условие параллельности плоскостей:
или
3) условие перпендикулярности:
Пример: Составить уравнения плоскости
ходящей через точки
, и плоскости
перпендикулярно вектору
между плоскостями
и
;
= =
;
или
0NN
.
, про-
,
, проходящей через точку
. Найти угол
P
.
2
,
32
Решение. Точки
123
,,AA A
(;;)xyz
( )
1
AM
12
AA
13
AA
( )
1
AM
12
13
2 31
3 5 4 25 0xyz−+−=
( )
1
a
( )
1
AM a⋅
( )
2
(;;)Mxyz P∈
( 2)0 ( 3)1 ( 1)1 0x yz− ⋅ + + ⋅+ − ⋅=
20yz++=
( )
2
(0;1;1)
ϕ
( )
1
P
( )
и точка M с текущими
координатами
вательно, векторы
векторное уравнение плоскости
AA
AA
ние в координатной форме, получим
x yz− +−
12 43 21 0
−− −+ − =
42 13 21
− −+ −
– уравнение плоскости
(3; 5; 4)N −
плоскости
натной форме, имеем
или
мальным вектором
ляется из соотношения
. Так как
, где точка
Угол
P , то ее векторное уравнение есть
2
между плоскостями
лежат в плоскости
,
,
= 0. Переписав последнее соотноше-
или
P
с нормальным вектором
1
является нормальным вектором
– уравнение плоскости
N
.
. Следо-
P
1
компланарны, т.е.
P имеет вид
1
. Перейдя к коорди-
,
P
с нор-
2
P
и
опреде-
2
33
12
2 2 2222
12
3 0 ( 5) 1 4 1 1
cos
10
3 ( 5) 4 0 1 1
NN
NN
⋅
⋅ +− ⋅+ ⋅
ϕ= = =−
+− + + +
,
arccos0,1ϕ=π−
{
2222
Ax B y Cz D
+ + +=
(,, )s mnp=
0000
(, ,)Mxyz
(,, )s mnp=
0 00
xx yy zz
mnp
−−−
0
0
0
x x mt
y y nt
z z pt
= +
= +
= +
t−∞ < < +∞
0000
(, ,)Mxyz
1111
(, ,)Mxyz
0 00
10 10 10
xx yy zz
xx yy zz
−−−
= =
−−−
откуда
.
3.3. Прямая в пространстве
Общие уравнения прямой (L):
+ + +=
1111
Ax By Cz D
0
– пересечение двух раз-
0
личных и не параллельных плоскостей.
Направляющий вектор прямой
– век-
тор, лежащий на прямой (L) или на параллельной ей
прямой.
Уравнения прямой, проходящей через точку
, с направляющим вектором
= =
– канонические уравнения
прямой.
Параметрические уравнения прямой:
,
, t – параметр.
Уравнения прямой, проходящей через две точки
и
:
.
:
34
Для прямых
()L
()L
1 11 1
(,, )s mnp=
2 22 2
(,, )s mn p=
12
12
cos
ss
ss
⋅
ϕ=
12
0ss×=
11 1
22 2
mnp
mnp
12
0ss⋅=
1 2 12 1 2
0mm nn p p⋅ +⋅ + ⋅ =
ϕ
0 00
xx yy zz
mnp
−−−
( )
(,, )s mnp=
0Ax By Cz D+ + +=
( )
sin
Ns
Ns
⋅
ϕ=
0Ns= ⇔
0Am Bn Cp++=
0
Ax By Cz D
торами
и
1
2
и
ственно имеют место формулы:
с направляющими век-
соответ-
1) угол между прямыми:
2) условие параллельности прямых:
или
= =
.
3) условие перпендикулярности прямых:
или
.
3.4. Взаимное расположение плоскости и прямой
Угол
между прямой
и плоскостью
(;; )NABC
находится по формуле
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
Координаты точки пересечения плоскости и пря-
мой являются решением системы уравнений
0,
+ + +=
x x mt
= +
0
y y nt
= +
0
z z pt
= +
.
,
,
.
= =
.
35
Пример: Провести плоскость (P) через заданную пря-
21
213
xy z+−
1
(2; 1;3)M −
1
M
2 12 31
213
−+ −
= ≠
−−
( 2; 1;3)s −−
0
(0; 2;1) ( )Ml−∈
(;;)Mxyz
0
MM
01
s
0
MM
01
s
0 21
20 12 31 0
2 13
xyz−+−
− −+ − =
−−
2 40xy− −=
D
( )
DR
xD∈
( )
мую (l):
Решение. Точка
= =
−−
и точку
.
не лежит на прямой l, так как
. Направляющий вектор прямой
и точка
же и плоскости (P). Пусть
принадлежат так-
– произвольная
точка искомой плоскости; тогда векторы
,
MM
компланарны. Уравнение плоскости (P) по-
лучаем из условия равенства нулю смешанного произведения:
MM
=0. Записав его в координат-
ной форме, получим
, т.е.
– искомое уравнение плоскости.
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Понятие функции. Способы задания
Пусть
тельных чисел
– произвольное подмножество действи-
Если каждому числу
.
⊆
по-
ставлено в соответствие некоторое единственное конечное действительное число
то говорят, что
,y fx=
,
36
на множестве D определена числовая функция .f
D
( )
{ }
|,
=∈= ∈
( )
;: ;y fx f D E= →
( )
;.
f
D E y yx=
→
sin 3 ln2 .y xx= +
( )
0
0
|.
xx
fx или y
=
= =−=∞
xx
−<
Множество
ции, а множество
вают областью значений функции. Термины функция,
отображение, преобразование – синонимы.
Обозначения:
Область определения либо указывают, либо опре-
деляют.
Основные способы задания функций
1) Аналитический способ задания функций.
Пример:
Частное значение функции:
Примеры:
а)
1
y Df Ef
4
−
называют областью определения функ-
E y Ry fx x D
, 2;2 , 0,5; .
( ) ( ) ( ) ( )
2
x
- назы-
1, 0;
x
б)
sign 0, 0;
= =
1, 0.
x
>
37
Неявное задание функции
()yx
( )
, 0.F xy =
y
4 2 6 0 3 2.xy y x+ −= ⇒ =−
n
12
, ,...,
n
xx x
12
, ,..., .
n
yy y
( )
y fx=
( ) ( )
{ }
2
,|Г M xy R y f x= ∈=
( )
0fx=
( )
fx
( ) ( ) ( ) ( )
:;x Df x Df f x fx⇔∀ ∈ − ∈ ∧ − =
( )
fx
( ) ( ) ( ) ( )
:.x Df x Df f x fx⇔∀ ∈ − ∈ ∧ − =−
( )
fx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0: : .T x Df x T Df fx T fx∃ ≠ ∀∈ ± ∈ ∧ ± =
Если уравнение можно разрешить относительно
, то приходим к явно заданной функции, например:
2) Табличный способ задания функций: перечисле-
значений аргумента
ние
ствующих значений функции
3) Графический способ задания функций состоит в
представлении функции
в некоторой системе
координат.
4.2. Основные характеристики поведения функций. Начальный этап исследования функции
1) Нули функции находятся из решения уравнения
2)
.
– четная функция
уравнением:
и соответ-
графиком
3) Периодичность:
– нечетная функция
– периодическая функция ⇔
38
4) Монотонность:
( )
fx
X
⇔
( ) ( )
( )
fx
X
⇔
( ) ( )
( )
fx
X
⇔
( ) ( )
( )
fx
X
⇔
( ) ( )
12 1 2 1 2
,: .xx Xx x fx fx∀ ∈ <⇒ ≥
( )
fx
( )
( ) ( )
( )
:.
X
( )
ux= ϕ
( )
( ) ( )
E Dfϕ⊂
( )
( )
yf x= ϕ
ϕ
Функция
возрастает в
Функция
Функция
Функция
5) Функция
зу) на множестве
Функцию ограниченную сверху и снизу на множе-
стве
6) Если условия пункта 5) не выполняются, то функция называется неограниченной.
4.3. Сложная функция. Обратная функция Сложная функция. Пусть заданы функции
и
y fu=
,:xx Xx x fx fx∀ ∈ <⇒ <
12 1 2 1 2
убывает в
,:xx Xx x fx fx∀ ∈ <⇒ >
12 1 2 1 2
не убывает в
,:xx Xx x fx fx∀ ∈ <⇒ ≤ .
12 1 2 1 2
не возрастает в
называют ограниченной сверху (сни-
X Df⊆
M R x X fx M fx M∃∈ ∈ ⇒ ≤ ≥
называют ограниченной на X.
, причем
, если
.
.
. Функцию
называют сложной функцией или компо-
зицией (суперпозицией) функций
и f и обозначают
39
символом
f ϕ
f
( )
( ) ( )
.Df Ef→
( )
существует только одно : :f xD yEy f x⇔∀ ∈ ∈ =
( ) ( )
( ) ( )
1
,.x f y y Ef
−
= ∈
( )
yfx=
∃
( )
1
.xf y
−
=
( )
,, .y ax b a b R=+∈
,.yx R
α
= α∈
( )
x
log , 0, 1.
y xa a= >≠
sin , cos , tg , ctg .x xx x
промежуточный аргумент):
x u y yf x f x
(x – независимая переменная; u –
ϕ
→→⇔= ϕ ⇔ ϕ
( )
( )
( )( )
.
Обратная функция. Пусть функция
жает
ное отображение
,, .xx Dx x fx fx∀ ∈ ≠⇒ ≠
12 1 2 1 2
говорить об обратной функции
Теорема. Если числовая функция
на, то
обратная функция
ное условие обратимости.
4.4. Основные элементарные функции
1) Линейная функция:
2) Степенная функция:
3) Показательная функция:
4) Логарифмическая функция:
5) Тригонометрические функции:
Рассмотрим взаимно однознач-
, 0; 1 .
ya a a= >≠
a
y fx=
отобра-
Тогда можно
монотон-
Это достаточ-
40
6) Обратные тригонометрические функции:
arcsin , arccos , arctg , arcctg .x xx x
sh,ch,th,cth.x xx x
arsh , arch , arth , arcth .xxx x
nn
mm
3
13 .y xx=++
sin , ln , cthxx x
( ) ( )
, ,;x t y t tT=ϕ =ψ∈
7) Гиперболические функции:
8) Обратные гиперболические функции:
4.5. Классификация функций
1) Целые рациональные функции:
P x ax ax a
( )
nn
= + ++
01
1
−
... .
2) Дробно-рациональные функции:
P x a x ax a
( )
Qx
( )
n
mm
+ ++
01
=
nn
bx bx a
+ ++
01
1
−
...
1
−
...
.
n
Совокупность 1) и 2) – класс рациональных функций.
3) Иррациональные функции: получаются с помощью
конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целы-
ми, так и с дробными показателями.
Совокупность 1), 2) и 3) – класс алгебраических
функций.
4) Трансцендентные функции:
и т. д.