Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
181
( )
2
12
cos3 sin3 .
x
oo
y e C xC x
−
= +
б) Показатель правой части:
( )
qki i
cos2 sin 2 , 2 sin 2 2 cos 2 ,
чн чн
u A x B xu A x B x
′
=+ =−+
4 cos 2 4 sin 2
чн
u A xB x
′′
=−−
( )
4 cos2 4 sin 2 4 2 sin 2 2 cos 2A xB x A xB x− − +− + +
( )
13 cos 2 sin 2 5sinA xB x x+ +=
89
89
29 29
u xx=−+
( )
2
12
89
cos3 sin3 cos2 sin 2 .
29 29
x
y e C xC x x x
−
= + −+
2
.
oo чн
yy u= +
2 22
0, 0.y yr
′′
+ω = +ω =
1,2
, 0, , 1.ri s= ±ω α = β = ω =
12
cos sin .
oo
y C xC x= ω+ ω
.q ≠ω
( )
,0 .q k iq i= ≠ ±ω
cos sin , sin cos ,
чн чн
u A qx B qx u qA qx qB qx
′
=+ =−+
22
cos sin
чн
u q A qx q B qx
′′
=−−
2, 0 2 2 3 .
= = ≠− ±
8 9 5,
AB
−+ =
cos2
x
9 8 0. , .
AB A B
+= =− =
x
sin 2
.
.
29 29
2)
чн
′′
+ω =
cos2 sin 2 .
sin .y y a qx
а)
Показатель правой части
.
182
( )
222
cos sin cos sin sin .q A qx q B qx A qx B qx a qx− − +ω + =
22
cos
(
)
22
sin .
чн
a
u qx
q
=
ω−
.q = ω
( )
,1 .q k iq i= = ω
( )
cos sin ,
чн
u xA x B x= ω+ ω
чн
( ) ( )
2
2 sin cos cos sinA xB x x A xB xω− ω+ ω −ω ω+ ω +
( )
2
cos sin sinx A xB x a x+ω ω+ ω = ω
( )
2 sin cos sin .A xB x a xω− ω + ω = ω
2, ,
BB
cos .
2
чн
a
ux=−ω
ω
12
cos sin cos .
2
a
yC xC x x x= ω+ ω− ω
ω
sin
qx
qx
22
qA
ω− =
(
22
qBa A B
ω− = = =
(
0,
)
. 0, .
)
a
q
ω−
(
)
(
ω−
2
a
22
q
)
,
cos sin sin .
y C x C x qx
= ω+ ω+
12
б)
′′
u A xB x x A xB x
sin
cos
Показатель правой части
2 sin cos cos sin .
=ω− ω+ ω −ω ω+ ω
( ) ( )
x
ω
x
ω
Aa A
−ω = =−
2 0. 0.
ω= =
a
2
ω
183
III) Правая часть имеет вид
( ) ( ) ( )
( )
12
cos sin ,
px
f x e P x qx P x qx= +
( ) ( )
12
,PxPx
,nm
( )
max , .l nm=
p qi+
( )
12
px
( ) ( )
12
RxR x
p qi+
( ) ( )
( )
12
cos sin ,
px
чн
u xe R x qx R x qx= +
( )
1
,Rx
( )
2
Rx
0,q =
0.p =
( ) ( )
12
RxR x
4 sin .yy xx
′′
+=
.
oo чн
yy u= +
1,2
, 0, 1, 1.ri s=± α= β= =
12
cos sin .
oo
y C xC x= +
0 , 1.p iq i k+=+ =
( ) ( )
( )
cos sin ,
чн
u xAxB x CxD x= + ω+ + ω
( ) ( )
(
)
2
4 2 2 cos
чн
u Ax C B x A D x
′′
=−+−++ +
где
ственно.
а)
ния. Тогда частное решение неоднородного уравнения
имеет вид
б)
Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет
вид
Случай (I) получается, если
ется, если
Пример:
Решение.
Показатель правой части:
– не есть корень характеристического уравне-
,
– есть корень характеристического уравнения.
– многочлены степени .l
,
– многочлены степени
Возможны два случая.
u e R x qx R x qx= +
чн
– многочлены степени .l
Степени одного из многочленов
могут получиться меньше .l
cos sin ,
( ) ( )
случай (II) получа-
′′
+ = +=
2
0, 1 0.yy r
соответ-
где
где
184
( ) ( )
(
)
2
4 2 2 sinCx A D x C B x+− − + + −
.
( ) ( )
(
)
2
4 2 2 cosAx C B x A D x−+−++ +
( ) ( )
(
)
2
4 2 2 sinCx A D x C B x+− − + + − +
( ) ( )
( )
cos sin 4 sin ,xAxB x CxD x x x+ + ω+ + ω =
( )
( )
( )
( )
2 0, 0, 2 2, 0.C AD A C B= += − = ==
1, 0, 0, 1.A BCD=−= = =
( )
чн
( )
( ) ( ) ( )
12
.y a xy a xy f x
′′ ′
++=
( ) ( ) ( )
12
.fx f x f x
= +
1чн
u
( )
,fx
2чн
u
( )
2
fx
12
.
чн чн чн
uu u= +
( ) ( ) ( )
12
.y a xy a xy f x
′′ ′
++=
.
oo чн
yy u= +
( ) ( )
12
++=
11 2 2
.
oo
y Cy C y= +
2 cos 2 sin 2 sin .Cx A D x Ax C B x x x+ + +− + − =
u x xx x= −
cos sin sin cos .yC xC xx xx x= + +−
12
Теорема. Пусть правая часть дифференциального уравнения
функций
решение при
Тогда
.
17.3.6. Метод вариации произвольных постоянных
Дано линейное дифференциальное уравнение
Рассмотрим однородное уравнение
Общее решение данного уравнения имеет вид
1
′′ ′
Пусть
– частное решение при
sin cos .
равна сумме двух
0.y a xy a xy
– частное
(*)
185
Будем искать частное неоднородного решение урав-
( ) ( )
1 12 2
.
чн
u C xy C xy= +
( ) ( )
1 12 2
,.CxCCxC= =
11 2 2 11 2 2
.
чн
u Cy C y Cy C y
′′′ ′ ′
=+ ++
( ) ( )
12
,,
12
,CC
11 2 2
0.Cy C y
′′
+=
11 2 2
,
чн
u Cy C y
′ ′′
= +
11 11 2 2 2 2
.
чн
u Cy Cy C y C y
′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′
=++ +
,,
чн чн чн
uuu
′ ′′
11 11 2 2 2 2 111 1 2 2 2 11
Cy Cy C y C y aCy aCy aCy
′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′
++++ + + +
(
)
2 2 2 111 2 2 1 1 11 21
aCy Cy Cy C y ay ay
′′
′′ ′ ′ ′
+ = + + ++ +
( ) ( )
2 2 12 22
Cyayay fx
+ ++ = ⇒
( )
′′ ′ ′
( ) ( )
12
,.Cx C x
( )
{
11 2 2
11 22
0,
,
Cy C y
Cy C y f x
′′
+=
′′ ′ ′
+=
12
12
0.
yy
yy
≠
′′
tg .yy x
′′
+=
.
oo чн
yy u= +
2
, 0, 1, 1.ri s=± α= β= =
12
cos sin .
oo
y C xC x= +
12
cos , sin .y xy x= =
нения в виде
примем обозначение
Так как определению подлежат две функции
Cx C x
распорядимся произвольно. Наиболее целесообразно
подчинить
Подставим
то одним соотношением между ними
условию
в неоднородное уравнение (*)
Далее везде
Тогда
′′ ′
+=
1 11 2 2
Получили систему дифференциальных уравнений для определения
Пример:
Решение.
1,2
′′
+ = +=
.Cy C y f x
0, 1 0.yy r
186
( ) ( )
12
чн
u Cx xC x x= +
{
′′
+=
2
12
cos
C Cx
x
′′
=−=
2
1
sin 1
cos
cos cos
x
C dx x dx
xx
=− =−=
∫∫
42
x
π
=−+
∫
12
cos sin sin ln tg cos
42
x
yC xC x x x
π
= + +− + −
cos sinxx−
n
2:n >
( )
( )
11
nn
( )
( )
1
nn
nn
−
( ) ( )
1
,..., .
n
xxϕϕ
( ) ( )
11
... ,
nn
Cx C xϕ ++ ϕ
1
,...,
n
CC
cos sin 0,
C xC x
12
′′
−+ =
sin cos tg ,
C xC x x
12
cos sin .
⇒
sin
x
, sin .
sin ln tg
x
,
yC xC x x
=+ −+
17.3.7 Линейные дифференциальные уравнения
-го порядка
Выше изложенное в пп. 17.3.2-17.3.6 переносится на
дифференциальные уравнения порядка
nn
+ ++ + =
y a xy a xy a xy f x
Сначала рассмотрим однородное уравнение
Линейно независимые системы функций.
Рассмотрим систему функций
нейной комбинацией их будет
где
( )
+ ++ + =
y a xy a xy a xy
11
1
−
( )
– постоянные.
,
cos sin ln tg cos .
12
... .
... 0.
sin cos .C xdx x= = −
2
′
( ) ( ) ( )
−
′
( ) ( )
−
x
π
42
Ли-
187
Определение. Система функций
( ) ( )
1
,...,
n
xxϕϕ
( 1,..., )ii n=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 1 1 1 1
... ... .
i i i i i nn
xC x C xC x C x
−− ++
ϕ = ϕ + ϕ + ϕ ++ ϕ
( ) ( )
12
,xxϕϕ
( )
x
ϕ
( ) ( )
1
,...,
n
xxϕϕ
23 2
12 3 4
ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=−
( ) ( ) ( )
4 12
2x xxϕ = ϕ −ϕ
14
,...,ϕϕ
1
,...,
n
yy
11
... .
nn
y Cy C y= ++
1
,...,
n
yy
( )
1n −
( )
1n −
вается линейно независимой, если ни одну из этих
функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных, т. е. ни для какого
жет выполняться равенство
В частности
линейно независимы, если
назы-
не мо-
2
≠
x
ϕ
( )
1
Если
функции, то они линейно зависимы.
Пример:
, , , 2.xx xx xx x xx
( ) ( ) ( ) ( )
симы.
Теорема. Если
висимых решений однородного дифференциального
уравнения, то общим решением этого уравнения будет
Если
крайней мере, одно из них выразится через остальные
и функция y будет зависеть не от n, а от
произвольных постоянных. Она не даст общего
решения дифференциального уравнения.
– линейно зависимые решения, то, по
не есть линейно независимые
, т. е.
суть n частных линейно неза-
const
.
– линейно зави-
188
Условием линейной независимости частных решений
12
, ,...,
n
yy y
11
nn
yy
yy
−−
( )
( )
1
n
−
11
...
nn
y Cy C y= ++
1 11
n
n
.
oo чн
yy u= +
1
,...,
n
yy
( )
( )
11
nn
дифференциального уравнения является отличие от
n
n
нуля вронскиана функций
, ,..., 0.
Wyy y
( )
12
= ≠
n
1
( ) ( )
1
Если заданы начальные условия
−
1
= = =
y yy y y y
= =
xx xx
00
′′
, ,..., ,
00
n
=
xx
то, для получения из общего решения
частного решения, надо решить систему алгебраиче-
ских уравнений
Cy C y y
.......................................,
Cy C y y
линейно независимых решений дифференциально-
го уравнения
... ,
++ =
1 10 0 0
− −−
n nn
( ) ( ) ( )
1
10 0 0
nn
++ =
... .
n
n
-го порядка образуют фундаменталь-
ную систему решений.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Теорема. Если
– фундаментальная система
решений дифференциального уравнения
nn
+ ++ + =
y a xy a xy a xy
( )
1
−
... 0,
−
′
( ) ( )
0
0
189
то решением дифференциального уравнения
( )
( )
nn
( ) ( )
11
nn
( ) ( )
1
,...,
n
Cx Cx
11
1
nn
−−
′′
n
( ) ( )
( )
1
11
... 0 const, 1,..., .
nn
nn i
y ay a y a y a i n
−
−
′
+ ++ + = = =
( )
1
11
... 0.
n
n
nn
r ar a r a
−
−
+ ++ + =
r
s
1
rx rx s rx
−
ri=α±β
1
cos , cos ,..., cos ,
x x sx
exxexxex
α α −α
ββ β
1
x x sx
exxexxex
α α −α
ββ β
1
+ ++ + =
y a xy a xy a xy f x
11
является функция
где
−
( )
...
nn
−
C xy C xy++
... ,
находятся из системы
... 0,
Cy C y
++ =
11
′′ ′ ′
Cy C y
11
................................,
( ) ( )
′′
Cy C y f x
1
nn
... 0,
++ =
nn
++ =
... .
nn
′
( ) ( ) ( )
( )
Определитель системы есть определитель Вронского (вронскиан).
17.3.8 Линейные дифференциальные уравнения
-го порядка с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
А) Однородное дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
1) Каждому действительному корню
соответствует
линейно независимых решений
, ,..., .
e xe x e
кратности s
2) Каждой паре комплексно сопряженных корней
кратности s соответствует 2s линейно неза-
висимых решений
sin , sin ,..., sin .
190
Порядок дифференциального уравнения есть ,n по-
.n
( ) ( )
5432
2 2 1 0.rr r rr+ + + ++=
42
1
1, 2 1 0.r rr=− + +=
1
1, 1, 0, 1.rs=− α=− β= =
2,3,4,5
, 0, 1, 2.ri s=± α= β= =
x
yCe CCx xCCx x
−
( ) ( )
11
nn
12
( )
1
Px
( )
2
Px
( )
12
kx
α
( ) ( )
12
Rx R x
( )
k
ri=α+β
( ) ( )
12
этому линейно независимых решений будет
Пример:
54
+ + + + +=
′′′ ′′ ′
2 2 0.y y y yyy
Решение.
= ++ ++
Б) Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение
fx e Px x P x x
( ) ( ) ( )
специального вида,
Частное решение имеет вид
где
– кратность
ского уравнения. Неопределенные коэффициенты многочленов
ми рассмотренным для уравнения 2-го порядка (см.
п. 17.3.5).
( ) ( )
1 23 45
nn
+ ++ + =
y ay a y a y f x
x
α
= β+ β
( )
– многочлен степени .n
u xe R x x R x x
= β+ β
чн
,
cos sin .
1
−
... ,
−
cos sin
– многочлен степени ,m
cos sin ,
( ) ( )
– многочлены степени
среди корней характеристиче-
,Rx R x
ищем способами, аналогичны-
′
– правая часть
max , ,l mn=
( )
где