Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
211
Признак справедлив, если условие
nn
uv≤
N
1
n
∞
=
11n
∞
=
11
n
n
u
0 A< < +∞
1nn
∞
=
1nn
∞
=
0A =
1nn
v
∞
=
∑
1nn
∞
=
A = +∞
1nn
∞
=
1nn
∞
=
2
11
2
.
31
n
nn
n
u
n
∞∞
= =
=
−
∑∑
11
nn
∞∞
= =
∑∑
22
31
n
u
n
няется, начиная с какого-либо номера
свойства сходящихся рядов.
1
Сравним с расходящимся рядом
Пример
∑
.
n
выпол-
, в силу 3-го
∑
n
.
n
∀ ≥⇒
исходный ряд расходится.
n
Предельный признак сравнения. Если
то при
ряды
∑
расходятся одновременно; при
ряда
следует сходимость ряда
из расходимости ряда
мость ряда
∑
.
u
Пример:
рядом
v
1
;
=
n
lim lim .
n
v
→∞ →∞
nn
чит, исходный ряд расходится.
n
lim
n
и
u
сходятся или
v
∑
→∞
=
v
из сходимости
; при
u
∑
следует расходи-
v
∑
Сравним с расходящимся
n
= ⋅=
n
2
−
Зна-
n
3
,
A
212
18.1.3.2. Признак д’Аламбера
1
0.
n
=
n
u
1ρ<
1ρ>
1ρ=
1
.
2
n
n
n
∞
=
∑
2
n
⋅=<
1
n
∞
=
( )
2
2
lim 1
1
n
n
n
→∞
=
+
1
0.
n
∞
=
ul
1l <
1l >
1l =
∞
Пусть дан ряд
1
n
дел
при
при
+
lim ,
u
n
→∞
– ряд расходится,
– ряд может сходится или расходиться.
∑
= ρ
uu
( )
nn
то при
>
Если существует пре-
– ряд сходится,
Примеры: 1)
12 1
n
+
lim 1
n
→∞
2)
1
n
+
n
1
Применим признак д’Аламбера:
.
∑
2
n
Применим признак д’Аламбера:
, значит, ряд сходится.
2
– о сходимости ряда ничего сказать
нельзя. Необходимо применить другой достаточный
признак сходимости.
18.1.3.3. Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд
дел
lim ,
n
→∞
при
при
uu
( )
∑
nn
n
n
=
то при
– ряд расходится,
– ряд может сходится или расходиться.
Если существует пре-
>
– ряд сходится,
213
Пример:
1
n
( )
( )
11
lim lim 0 1
ln 1
ln 1
n
n
nn
n
n
→∞ →∞
= = <
+
+
1
0,
n
∞
=
( )
fx
x
( ) ( )
1
1 ,..., ,...
n
u f u fn= =
( )
fx
[
)
1, ∞
( )
1
f x dx
∞
∫
11n
∞
1α≠
1
Ix
∞
1
11Iα> = ⇒
α−
∞
∑
ln 1
=
1
n
n
( )
Применим радикальный при-
.
+
знак Коши:
–
ряд сходится.
18.1.3.4. Интегральный признак Коши
Теорема. Пусть дан ряд
uu
∑
nn
>
( )
члены кото-
рого являются значениями непрерывной функции
при целых значениях аргумента
:
и пусть
монотонно убывает в интервале
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный ин-
теграл
и расходится, если интеграл расхо-
дится.
Пример:
1)
Применим интегральный признак Коши.
∑
α
n
=
∞
dx x
= = = −
∫
α
x
1
1
−α+
11
−α + − α
1
−α+
lim 1
( )
x
→∞
1
:
.
а)
ряд сходится;
214
б)
1 Iα< =∞⇒
1
1
1, lim ln .
x
I dx x
x
∞
→∞
α= = = =∞
∫
12
..., .
nn n n
SS r u u n
−== + + ∀
1
1
, 1.
n
n
∞
α
=
α>
∑
n
n
xn
∞
ε
1
2, 0,001, 0,001, 1000.n
n
α= ε= ≤ =
1
n
∞
2
1
0,001, 24.
2
n
rn
n
<≤ =
1
n
∞
1
3
rn
n
ряд расходится.
2)
Оценка ошибки при приближенных вычислениях суммы ряда.
r f x dx
<
n
1
1
.
Примеры: 1)
r
<= =
n
Для заданного
++
∞
dx x
∫
α α−
−α+
−α +
1
1
α−
( )
можно оценить n из условия
r
n
1
< ≤ε
α−
( )
1
α−
1
n
Для
Данный ряд медленно (плохо) сходится.
2)
3)
1
, 3, 0,001.
∑
=
∑
=
α= ε=
3
n
1
, 4, 0,001.
α= ε=
4
n
<≤ =
n
0,001, 7.
3
Чем «быстрее» члены ряда стремятся к нулю, тем быстрее ряд сходится.
∞
.
( )
∫
n
.
1
215
18.1.3.5. Степенной признак
n
u
/cn
α
,0nc→ ∞ < < +∞
1α>
1α≤
{ }
n
a
1nn
∞
1nnn
au
∞
=
∑
{ }
n
a
1nn
1nnn
au
∞
=
∑
1
lim 1
n
n
n
u
nr
u
→∞
+
−=
1r >
1nn
u
∞
=
∑
1r <
1
,0
n
n
1λ>
1nn
1λ<
1, 1λ= µ>
1, 1λ= µ≤
Если
ряд сходится, при
~
при
– расходится.
18.1.3.6. Признак Абеля
Если последовательность
u
ченна, а ряд
сходится, то сходится ряд
∑
=
18.1.3.7. Признак Дирихле
Если последовательность
к нулю, а частичные суммы ряда
, то при
монотонна и ограни-
.
монотонно стремится
∞
u
ограниченны,
∑
=
то ряд
18.1.3.8. Признак Раабе
Если
сходится, при
18.1.3.8. Признак Гаусса
u
Если
∞
∑
=
n
=λ+ + ε>
un
+
сходится; при
u
ряд сходится; при
сходится.
– расходится.
µ
O
, то при
1
1
+ε
, то при
– расходится; при
– расходится.
ряд
ряд
216
18.1.4. Знакопеременные ряды
1234567...+−−−++−
1nn
∞
1
n
∞
1nn
∞
1nn
∞
=
1nn
∞
=
1nn
∞
1nn
∞
=
Знакопеременным называется ряд, члены которого имеют неодинаковые знаки
Пример знакопеременного ряда
.
Знакопеременный ряд
ряд
∑
В этом случае ряд
.
u
n
=
сходится, если сходится
u
∑
=
называется абсо-
u
∑
=
лютно сходящимся.
Сходящийся ряд
если ряд
∑
u
u
называют условно сходящимся,
∑
расходится.
Свойства абсолютно сходящихся рядов
1) Если ряд
сходится абсолютно, то возможна
u
∑
=
перестановка бесконечного множества его членов. Если
ряд
сходится условно, то при перестановке бес-
u
∑
конечного множества его членов можно получить расходящийся ряд или изменится сумма ряда.
2) Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать и при этом их суммы
складываются, вычитаются и умножаются.
217
Например
( )( )
12 12
... ... ... ...
nn
aa a bb b+ ++ + + ++ + =
( )
( )
1
sin
2
n
n
n
∞
=
α
∑
1
n
∞
=
22
nn
1
n∞=
1
n
∞
12
... ...
n
uu u> >> >
lim 0,
n
u→∞=
11
,.
nn
Su r u
+
<<
1
1.
n
∞
=
12
... ...
n
uu u> >> >
lim 0.
n
u→∞=
1
.
n
rn<
ab ab ab a b a b ab
= + + ++ + ++ +
11 21 12 1 12 1
... ... ...
nn n
−
.
Сумма полученного ряда равна произведению сумм исходных рядов.
Пример:
дится ряд
∑
сходится абсолютно, так как схо-
sin
n
α
, ибо
n
2
sin 1
nα
<
, а ряд
сходится.
18.1.5. Знакочередующиеся ряды
n
1 , 0.
( )
uu
nn
±− ≥
∑
=
Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде
причем
Пример:
∑
ница, так как
−
( )
и
1
n
Ряд сходится по признаку Лейб-
n
то ряд сходится,
n
.
сходится плохо (медленно), так как
n
1
∑
n
2
Но ряд
218
18.1.6. Некоторые ряды
1
n
∞
1
n
∞
1
1
;
!
n
e
n
∞
=
=
∑
( )
1
1
1
ln 2;
n
n
n
−
∞
=
−
=
∑
( )
1
1
1
;
21 4
n
n
n
−
∞
=
−
π
=
−
∑
2
1
n
∞
1
1
n
n
−
( )
2
2
1
1
.
8
21
n
n
∞
=
π
=
−
∑
1
nn
n
∞
( )
n
xu x∀
x
0
xx=
1
n
∞
0
xx=
Ox
0
n
∞
( )
1x ≥
aq q
∑
=
, 1;
= <
q
1
−
a
n
∑
=
21
n
2
2
π
=
;
12
∞
∑
=
1
−
( )
n
2
18.2. Функциональные ряды
18.2.1. Общие определения
−
n
3;
=
1
∑
2
n
=
π
;
=
6
ux ux ux ux
Ряды
+ ++ +
( ) ( ) ( ) ( )
12
полагается, что
... ...
∑
=
определены и непрерывны,
называют функциональными. Для одних значений
может сходится, для других – расходиться. При значении
получим числовой ряд
дится, то точка
∑
=
называется точкой сходимости
ux
( )
0
n
.
функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Область сходимости – промежуток оси
n
.
x
Пример:
При
Ряд сходится в области
∑
=
ряд расходится.
, где пред-
ряд
Если он схо-
.
1,1 .x∈−
219
Сумма ряда
( ) ( ) ( ) ( )
x
( )
1
1
Sxx=
−
( )
1,1 .x ∈−
n
( )
;
n
Sx
( )
rx
x
( ) ( ) ( )
lim , lim 0.
nn
nn
S x Sx r x
→∞ →∞
= =
( )
1nn
ux
∞
=
∑
D
( ) ( )
( )
.
n
rx xD<ε ∀ ∈
( )
1nn
ux
∞
=
∑
1nn
v
∞
=
∑
функция независимой переменной
Sx u x u x u x= + ++ +
. Эта функция есть сумма ряда только при
12
... ...
n
. В примере
есть
значениях
Частичная сумма
остаток ряда –
каком-либо
При конечном числе функций интеграл или произ-
водная от суммы равна сумме интегралов или производных.
18.2.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
Определение. Функциональный ряд
ется равномерно сходящимся в области
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов
Ряд
если сходится числовой ряд
, то
:N nN∀ε ∃ ε ∀ > ε
первых членов ряда обозначается
Если ряд сходится при
.
n
называ-
, если
выполняется неравенство
равномерно сходится в области ,D
такой, что
220
( )
nn
x Du x v∀∈ ≤
. В этом случае ряд
1nn
=
1nn
ux
∞
=
2
1
sin
.
n
nx
n
∞
=
∑
22
nn
2
1
1
n
n
∞
=
∑
2
1
sinnnx
n
∞
=
∑
R
1
n
n
∞
.x∀
( )
x
,D
( ) ( )
( )
1
.
1!
n
x
n
x
Sx S x e
n
+
θ
− < <ε
+
1nx+
( )
1 !.n +
n∀
,x
( )
1
.
1!
n
x
x
e
n
+
θ
>ε
+
D
.Ox
D
∑
∞
v
называют
мажорантой ряда
Примеры: 1)
ряд
мерно в
2)
∑
сходится, то ряд
.
x
сходится
!
n
=
∑
или мажорирующим рядом.
( )
xR
sin 1nx
∀∈ ≤
сходится равно-
Сумма ряда равна
Эта сходимость равномерная для любой конечной об-
ласти
растет медленнее
димость неравномерная, так как
так как
Для всей числовой оси схо-
можно найти такое
что
18.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов Во всех теоремах предполагается, что область
сходимости ряда, есть интервал оси
Теорема 1. Если ряд из непрерывных функций равномерно сходится в
, то его сумма есть функция, не-
прерывная в этой области.
. Так как
Sx e=
.