Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
171
Пример:
+=
( )
,.
2
2,
y
yz z z′= −
zy
2
=−+
( )
1
, 0.
C
zy
y
= >
3
1
12
2
,
3
C
dy
y Cx C
dx
y
= = +
00z y yC
′
=⇒ =⇒=
( )
n
( )
( ) ( )
1
11 1
,
n
y f x dx C f x C
−
= += +
∫
( )
2
122 12
n
−
( )
( )
1
1
1
... ,
1!
n
n nn
C
y f x x C xC
n
−
−
= + ++ +
−
∫∫ ∫
( )
1
11
... .
n
n nn
y f x Cx C x C
−
−
= + ++ +
11
∫
( )
1 2 12
2.
y xeeCdxCxe eCxC
=− − + += + + +
∫
′′ ′
2 0.yy y
2
Решение.
dz dy
1)
′ ′′ ′
y zy y zz
= =
x xx y
ln ln ln ,
,
= −
2
z yC
1
1
2)
.
17.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
1) Уравнения вида
y fx=
( )
.
y fxdxdxCxC f x CxC
( ) ( )
∫∫
= ++= ++
…………………………………
n
f x f x dx=
( ) ( )
n
... .
x
−
′′
Пример:
Решение.
=
y xe
′
y xe dx C xe e C
.
x xx
− −−
= +=− − +
,
;
,
172
2) Уравнения вида
( ) ( )
(
)
kn
( )
1
, ,...,
k
yy y
−
′
( )
( )
k
y zx=
k
( )
(
)
( )
(
)
x
( )
y zy
′
=
,
dz dy dz
yz
dy dx dy
′′
= =
22
22
=+= +
( )
(
)
, , , ,..., 0.
n
F xyy y y
′ ′′
=
( )
n
y
( ) ( )
(
)
nn
( )
, , ,..., .
y xC C C= ϕ
, ,..., 0
F xy y =
не содержит
явно
порядок уравнения на
3) Уравнения вида
явно
уравнения на 1:
17.2.4. Дифференциальные уравнения высших
порядков
Определение. Порядком дифференциального уравне-
ния называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение
Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной
. Подстановка
dz dz d z dz d z
′′′ ′ ′
y y z yz z
dy dy dy
. Подстановка
:
F xzz z
, ,..., 0
F yy y′=
dy dy
имеет вид
=
y f xyy y
, , ,..., .
′
, , ,..., 0.
′
понижает
nk
−
n
не содержит
понижает порядок
2
1
−
=
и т. д.
Общее решение дифференциального уравнения имеет
вид
12
n
173
Частные решения дифференциального уравнения
( )
( )
00
0
1
1
00
0
, , ..., .
n
n
xx xx
xx
y yy y y y
−
−
= =
=
′′
= = =
( )
(
)
1
, , ,...,
n
f xyy y
−
′
( )
1
, ,....,
n
ff f
yy
y
−
∂∂ ∂
′
∂∂
∂
( )
( )
( ) ( )
(
)
nn
( )
00
x hx h−+
( )
,y yx=
( )
( )
00
0
1
1
00
0
, , ..., .
n
n
xx xx
xx
y yy y y y
−
−
= =
=
′′
= = =
y
( ) ( ) ( )
′′ ′
++=
определяются из начальных условий
Теорема о существовании и единственности решения
Если функция
и ее производные
непрерывны в окрестности значе-
1
n
ний
нение
000
y f xyy y
, , ,..., ,
xyy y
интервале
′
=
−
0
′
, , ,...,
,
то дифференциальное урав-
1
−
в достаточно малом
имеет единственное решение
удовлетворяющее заданным начальным
условиям
17.3. Линейные дифференциальные уравнения
17.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции
и ее производных
12
.y a xy a xy f x
174
Функция
( )
fx
( )
( ) ( ) ( ) ( )
12
, ,,x ab fxaxax∀∈
(
)
( )
00
0 00
,,
xx xx
y y y y x ab
= =
′′
∀= =∈
( )
,y yx=
( ) ( )
12
0.y a xy a xy
′′ ′
++=
( ) ( )
12
,ax a x
( )
,.ab
0.y ≡
( ) ( )
12
( ) ( )
12
0y a xy a xy
′′ ′
++=
( ) ( )
11 2 2
y Cy x C y x= +
12
,.CC
( ) ( )
12
,yx y x
( ) ( )
12
0y a xy a xy
′′ ′
++=
циального уравнения. Если
называется однородным, в противном случае уравнение
называется неоднородным.
Если
называется правой частью дифферен-
то уравнение
0,fx≡
непрерывны, то
существует
единственное решение
заданным начальным условиям.
17.3.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
Считаем, что
Тривиальное решение
Теорема 1. Если
ального уравнения
то их линейная комбинация также является решением уравнения (*) для любых
Теорема 2. Если
ального уравнения
,yx y x
удовлетворяющее
непрерывны на
- решения дифференци-
, (*)
– решения дифференци-
175
2
1
y
( ) ( )
12
,yx y x
( ) ( )
11 2 2
y Cy x C y x= +
( ) ( ) ( )
12
.y a xy a xy f x
′′ ′
++=
12
0.y ay a y
′′ ′
++=
rx
ri=α+β
( )
0β=
2
,.
rx rx
,,yy y
′ ′′
( )
2
12
0r ar a+ +=
12
,rr
12
rr≠
и
≠
y
мы), то
ренциального уравнения.
const
(т.е.
– линейно независи-
общее решение диффе-
17.3.3. Неоднородные линейные дифференциальные
уравнения 2-го порядка
Теорема. Общее решение неоднородного дифференци-
ального уравнения
есть сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.
17.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Ищем решение в виде
ствительное
Подставим
или комплексное число. Тогда
′ ′′
y re y r e
= =
в дифференциальное уравнение
2
rx rx
e r ar a e++ = ≠
12
ye=
где
,
0, 0.
Получили характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения равны
Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения.
1)
действительные числа.
– дей-
.
.
176
Получили два решения дифференциального уравнения
12
12
,.
rx rx
ye y e= =
1
y
12
1 2 12
,,
rx r x
y Ce C e C C= +
2 0,yy y
′′ ′
−− =
( ) ( )
2
20rr−− =
12
2, 1.rr= = −
2
12
.
xx
y Ce C e
−
= +
{
12
−=−
12
1, 3.CC=−=
3.
xx
=−+
12
rr=
1
ye
1
2
.
rx
y xe=
11
21
,
rx rx
y e r xe
′
= +
11
21 1
2.
222
,,yyy
′ ′′
( )
1 1 11 1
+++ + =
( )
( ) ( )
11
2
1 112 11 11
2 2.
rx rx
e xr ara ra e ra
= +++ + = +
12 1 1
2,rr r a+= =−
( )
+=
rx
6 9 0.yyy
′′ ′
− +=
12
3.rr= =
( )
3
12
.
x
y C Cxe= +
, 0.ri= α±β β≠
( ) ( )
12
.
ix ix
y Ce C e
α+β α−β
= +
r rx
−
( )
2
y
21
e
= ≠
const.
Общее решение дифференциального уравнения
- произвольные постоянные.
Пример.
0 2, 0 5.yy
′
= = −
Решение. Характеристическое уравнение
CC
12
2 5.
CC
2)
Покажем, что
2,
+=
действительное число.
y r e r xe
ye e
rx
1
=
′′
rx rx
= +
Подставим в левую часть уравнения
rx rx rx rx rx
2
r e r xe a e r xe a xe
11 1 1 2
2
2
.
2
:
.
−
По теореме Виета
Следовательно
Пример:
Решение.
3)
1,2
y C Cxe= +
2
6 9 0,rr− +=
( )
12
т.е.
2 0.ra
11
1
.
177
Если дифференциальное уравнение с действительными
( ) ( )
,u x iv x= +
( )
ux
( )
vx
( )
( )
cos sin
ix
xix x
e ee e xi x
α+β
αβ α
= = β+ β
( )
12
cos sin .
x
y e C xC x
α
= β+ β
4 13 0.yy y
′′ ′
−+ =
2
4 13 0,rr−+=
1,2
23ri= ±
12
( )
12
.y ay a y f x
′′ ′
++=
,
oo чн
yy u= +
oo
y
чн
u
11 2 2.֒
y Cy C y u=++
чн
u
( ) ( )
,
px
n
f x P xe=
( )
n
Px
n
( )
,
k px
чн n
u xQ xe=
( )
n
Qx
( )
n
Px
коэффициентами имеет комплексное решение y =
то каждая из функций
и
яв-
ляется действительным решением уравнения.
По формуле Эйлера
,
x
α
ue x
cos
= β , sin
x
α
ve x
= β .
Тогда
Пример.
Решение.
2
x
y e C xC x= +
,
cos3 sin 3 .
( )
17.3.5. Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение дифференциального уравнения имеет
вид
ного уравнения,
где
– общее решение однород-
– частное решение неоднородного
уравнения или
Найдем
. Рассмотрим частные случаи.
I) Правая часть имеет вид
многочлен
где:
-й степени. Решение
– многочлен той же степени, что и
где
–
,
178
k
– кратность показателя p среди корней характери-
0k =
( )
n
Qx
00
xx
′′ ′ ′
.
oo чн
yy u= +
oo
y
2
1, 1, 0,r = α= β=
2.s =
( )
12
.
x
oo
y C Cxe= +
чн
u
0p =
0,k =
( )
( )
1
,
чн
u Q x A Bx= = +
, 0.
чн чн
u Bu
′ ′′
= =
2 1.B A Bx x− ++ =+
x
{
0
BA
3.
чн
ux= +
x xx
=+++=+++
{
21
12
1, 3.CC=−=−
стического уравнения (если такого корня нет, то
Коэффициенты многочлена
неопределенных коэффициентов.
Примеры: 1)
Решение.
2 1, 2, 3.
y yyx y y
− +=+ = =−
находим методом
= =
).
а) Находим
1,2
б) Ищем
т.к. среди корней характеристического уравне-
ния нет такого корня. В правой части уравнения стоит
Поэтому
ставим в дифференциальное уравнение
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях равенства
x BA
1
x
y C Cxe x y Ce C Cxe
( ) ( )
12 2 12
Из начальных условий имеем
2 3,
−= + +
′′ ′
.
2 0, 2 1 0.y yy r r
− + = − +=
кратность корня
. Показатель правой части
.
1
− +=
2 1,
= =
1. 3.
3 , 1.
C
= +
1
3 1.
CC
1Px x= +
′
. Поэтому
Под-
179
( )
13 3 .
x
y xe x=− + ++
2
4 33.
x
y y ye
′′ ′
− +=
.
oo чн
yy u= +
2
4 3 0, 4 3 0.y yy r r
′′ ′
− + = − +=
1
1, 1, 0, 1.rs= α= β= =
2
3, 3, 0, 1.rs= α= β= =
12
xx
oo
( )
2
0
3.
px x
f x Pe e= =
2, 0.pk= =
222
0
,2,4.
pxxxx
чн чн чн
u Q e Ae u Ae u Ae
′ ′′
= = =
−+= =−
32
12
3.
x xx
y Ce C e e=+−
43 .
x
y y y xe
′′ ′
− +=
.
oo чн
yy u= +
1
1, 1, 0, 1.rs= α= β= =
2
3, 3, 0, 1.rs= α= β= =
3
12
.
xx
oo
y Ce C e= +
1, 1.pk= =
( )
(
)
2
,
xx
чн
u x Ax B e Ax Bx e=+=+
2)
Решение
а)
y Ce C e= +
б) Правая часть имеет вид
затель правой части
2 2 22
x x xx
4 8 3 3 , 3.
Ae Ae Ae e A
3)
Решение.
′′ ′
а)
4 3 0, 4 3 0.y yy r r
− + = − +=
2
б) Показатель правой части:
3
.
Пока-
180
(
)
2,
xx
′
( )
(
)
2
2 22 .
xxx
чн
u Ae Ax B e Ax Bx e
′′
= + +++
( )
(
)
( )
(
2
2 22 4 2
xxx x
Ae Ax B e Ax Bx e Ax B e+ +++ − ++
(
)
)
(
)
( )
22
3 4 22
x xx
Ax Bx e Ax Bx e e Ax A B+ + + + = − +− =
x
xe=
11
44
(
)
4
xx x
( )
cos sin .f x a qx b qx= +
iq
cos sin .
чн
u A qx B qx= +
iq
( )
cos sin .
чн
u x A qx B qx= +
4 13 5sin 2 .yy y x
′′ ′
++ =
.
oo чн
yy u= +
2
4 13 0, 4 13 0.yy y rr
′′ ′
+ + = ++=
1,2
2 3 , 2, 3, 1.ri s=− ± α=− β= =
u Ax B e Ax Bx e
=+++
( )
чн
2 2 0,
AB
−=
0
x
1
4 1. , .
A AB
−= =− =−
x
y Ce C e x x e=+ −+
12
32
2
.
1
.
II) Правая часть имеет вид
а) Если
уравнения, то
б) Если
уравнения, то
Примеры: 1)
Решение.
не является корнем характеристического
является корнем характеристического
а)