Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
41
Если ϕ – монотонна, то ∃
( )
1
.tx
−
=ϕ
( )
( )
1
.yx
−
=ψϕ
( )
( )
{
,.xt tT
yfx
yft
= ∈
= ⇔
=
( )
,M xy
2
,R
( ) ( )
,,
2
.LR∈
{
,,
{
{
22
ab
2
2
,
2 ( 0) .
2 . [0; )
xt
y px p
y pt t
=
= >⇔
= ∈∞
{
22
22
ch ,
1
sh , .
xy
xa t
yb t tR
ab
=
−=⇔
= ∈
Всякую явно заданную функцию можно представить
Тогда
параметрически
Параметрическое задание линий на плоскости
Множество точек
ты которых удовлетворяют
параметрически задают линию
1) Прямая линия:
2) Окружность с центром в начале координат:
222
xya
+=⇔
3) Эллипс:
4) Парабола:
5) Гипербола:
xy
y ax b
+=⇔
22
плоскости
x xt y yt t T= = ∈
xttR
= +⇔
cos ,
xa t
=
sin , 0 2 .
ya t t
= ≤< π
1
= ∈
y at b
cos ,
xa t
=
sin 0 2 .
yb t t
= ≤<π
= +
координа-
.
,
42
6) Астроида:
0 2.t≤≤π
( )
( )
sin ,
1 cos , .
xat t
ya t tR
= −
=−∈
( )
Mϕ
2kπ
02≤ϕ< π
−π < ϕ ≤ π
,r ϕ
( )
0 ,0 2 .r≤ <∞ ≤ϕ< π
( )
,Mrϕ
ϕ
r
О-полюс
u
Полярная ось
222
333
xya
+=⇔
cos ,
xa t
=
sin ,
ya t
=
3
3
7) Циклоида:
4.7. Полярная система координат
r M OM=
( )
совой стрелки от полярной оси), принимает бесконечное множество значений отличающихся друг от друга
на
значением (иногда:
Положение любой точки определяется заданием
– полярный радиус.
– полярный угол (отсчитывают против хода ча-
. Значение :ϕ
– называют главным
).
43
Связь декартовых и полярных координат:
{
22
,
tg .
r xy
y
x
= +
ϕ=
( )
rr= ϕ
( )
L
( )
y fx=
Oxy
( )
L
.Ox
( )
yfx
L
.Oy
( )
( 0)y fx a a=−>
L
.Ox
( )
y fx b= +
L
( )
Ox
( )
L
( )
( )
cos ,
xr
= ϕ
yr
= ϕ
Уравнение линии в полярной системе координат:
4.8. Простейшие методы построения графиков
в декартовой системе координат
Пусть
1) График функции
отображением
2) График функции
отображением
3) График функции
щением вправо
4) График функции
по оси Oy на величину b.
5) График функции
по оси
6) График функции
по оси Oy в A раз.
sin .
или
– график функции
в k раз.
, 0.Frϕ=
относительно оси
относительно оси
по оси
y f kx=
y Af x=
y fx= −
= −
в
. Тогда:
получен зеркальным
получен зеркальным
получен сме-
получен смещением
получен «сжатием» L
получен «растяжением»
7) График функции
мула преобразования.
y Af k x a b= −+
– общая фор-
44
5. ПРЕДЕЛЫ
nN∀∈
( )
N
:fN R→
{ }
n
u
( )
n
u fn=
{ }
u
:;
n
m Ru m n N⇔∃ ∈ ≥ ∀ ∈
{ }
u
:;
n
M Ru M n N⇔∃ ∈ ≤ ∀ ∈
{ }
u
,: ;
n
mM R m u M n N⇔∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈
{ }
u
12
,: ;
nn
nn Nn n u u⇔∀ ∈ < ⇒ <
{ }
n
u
12
,: ;
nn
nn Nn n u u⇔∀ ∈ < ⇒ >
{ }
n
u
12 1 2
12
,: ;
nn
nn Nn n u u⇔∀ ∈ < ⇒ ≤
{ }
u
12 1 2
12
,: .
nn
nn Nn n u u⇔∀ ∈ < ⇒ ≥
5.1. Числовая последовательность и ее предел
Если
то говорят, что на
ность
поставлено в соответствие
задана числовая последователь-
обозначается
.
u fn=
n
формула общего члена последовательности.
Свойства последовательностей
1)
2)
– ограничена снизу
n
– ограничена сверху
n
–
,
3)
4)
5)
6)
7)
– ограничена
n
– возрастает
n
12 1 2
– убывает
– не убывает
– не возрастает
n
12 1 2
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
45
Предел числовой последовательности
A
{ }
lim
n
n
Au
→∞
=
lim
n
xa
=
lim
n
n
za
→∞
=
n
nnn
xyz≤≤
lim
n
ya
=
lim
n
xx
=
lim
n
yy
=
,
nn
nx y∀≤
.xy≤
lim
n
xx
=
lim
n
n
xx
→∞
=
{ }
{ }
lim , lim ,
nn
nn
ua vb
= =
( )
lim ;
nn
n
u v ab
→∞
±=±
( )
n
⋅=⋅
Число
ности
называют пределом числовой последователь-
, если
u
n
0: .
∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ − < ε
n N nn u A
εε
Пишут
n
⇔
0: .
∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ − < ε
n N nn u A
εε
n
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.
Теоремы о числовых последовательностях:
1. Если последовательность сходится, то она ограниче-
на (необходимый признак сходимости).
2. Всякая ограниченная монотонная последователь-
ность сходится (достаточный признак сходимости).
3. Если
→∞
рого номера
то
4. Если
→∞
n
→∞
,
n
, выполняется неравенство
.
,
n
→∞
и, начиная с некото-
и
n
то
5. Если
→∞
, то
n
Теорема. Если последовательности
дятся и
→∞ →∞
1)
2)
.
и
u
n
то
lim ;
cu ca
→∞
n
схо-
v
n
,
46
3)
( )
lim ;
nn
n
u v ab
→∞
⋅=⋅
vb
( )
n
qq
( )
n
( )
lim 1 1/ ,
n
n
ne
→∞
+=
( )
( )
lim / 0 1 ,
an
n
na a
→∞
= >
( )
( )
lim / ! 0 1 ,
n
n
an a
→∞
= >
( )
( )
lim ln / 0,
n
nn→∞=
lim ln 1,
n
n
n→∞=
( )
(
)
( )
lim ln / 0 0 ,
aa
n
nn a
→∞
= >
( )
lim 1 0 ,
n
n
aa
→∞
= >
n
( )
lim 1/ ! 0,
n
n
n→∞=
( )
lim / ! ,
n
n
nn e
→∞
=
1
kk
−
1
1 2 ... 1
lim ,
1
kk k
k
n
n
k
n
+
→∞
+ ++
=
+
11 1
Некоторые пределы
u
4)
n
lim lim 0 .
→∞ →∞
nn
= ≠=
n
v
( )
a
n
lim 0 1 ,
n
= <
→∞
lim 0 1 ,
nq q
n
→∞
= <
lim 1,
nn→∞
an an a a
+ ++
01 0
lim 0 ,
n
→∞
kk
bn bn b
+ ++
01
...
−
1
...
=
k
= ≠
b
o
k
b
( )
0
lim ... ln 2,
n
→∞
+ ++ =
12 2
nn n
++
47
( )
2
2 4...2 1
lim
1 3... 2 1 2 1 2
n
n
nn
→∞
⋅π
=
⋅− +
5.2. Предел числовой функции
A
( )
( )
00
xxx
( )
( )
A
( )
y fx=
0
x
( )
0
( )
0
0 0: : 0 .x x x fx A
ε
∀ε> ∃δ > ∀ < − <δ⇒ − <ε
A
( )
y fx=
0
x
( )
0
0 0: : 0x xx
∀ε > ∃δ > ∀ < − < δ
( )
0
x
( )
( ) ( )
00
00
lim lim
xx xx
fx fx A
→− →+
⇔==
Число
называется пределом функции
(формула Валлиса).
y fx=
в
точке
0 0: : 0 .x x x fx A
∀ε> ∃δ > ∀ < − <δ⇒ − <ε
Число
ε
называется левым пределом функции (лево-
сторонний предел)
lim
fx A
0
xx
→−
Число
называется правым пределом функции (пра-
восторонний предел)
ся
lim
fx A
0
xx
→+
0
Функция имеет предел в точке
равны односторонние пределы:
→
=
ε
), если
=
(обозначается
0
в точке
в точке
), если
lim
fx A
xx
→
0
, если существуют и
lim
xx
→
.
), если
=
(обозначается
(обозначает-
.fx A⇒ − <ε
fx A
= ⇔
0
48
Число A называется пределом функции
( )
y fx=
x → +∞
x → −∞
( )
limxfx A
→+∞
=
( )
limxfx A
→−∞
=
( )
( )
( )
fx
0
xx→
( )
0
( )
fx
0
xx→
( )
0
lim 0.
xx
fx→=
( )
fx
( )
gx
0
x
( ) ( )
00
→→
( ) ( )
( )
0
lim ;
xx
fx gx a b
→
±=±
( )
( )
0
lim ;
xx
c f x ca
→
⋅=⋅
( ) ( )
( )
0
lim ;
xx
f x g x ab
→
⋅=⋅
( )
при
(
(
0 0:M x Mx M∀ε > ∃ > ∀ > < −
Функция
, если
Функция
, если
Теорема. Если функции
окрестности точки
то
1)
2)
3)
) (обозначается
) ), если
называется бесконечно большой при
lim .
fx→= ∞
xx
называется бесконечно малой при
и
и
lim , lim ,
fx a gx b
xx xx
определены в
= =
.fx A⇒ − <ε
4)
fx
lim 0 .
gx b
xx
→
( )
0
b
=≠=
a
49
При вычислении
( ) ( )
( )
0
( )
fx
( )
gx
0
xx→
( ) ( )
( )
fx gx±
0
xx→
{ }
∞±∞
∞
∞
0
0
{ }
0⋅∞
0
x
x
1
lim 1 2,71829... .
x
x
ee
x
→∞
+==
2
0
1 cos 1
lim ,
2
x
x
x
→
−
=
0
tg
lim 1,
x
x
x
→
=
lim
xx
→
нечно больших функций
fx gx
±
, в случае беско-
и
при
теорема о пределе суммы (разности) функций непосредственно не применима. В этом случае говорят, что
выражение
при
, представляет
,
собой неопределенность вида
.
Аналогично возникают неопределенности вида
,
и т. д. Вычисление пределов в этих случа-
ях называется раскрытием неопределенности.
5.3. Замечательные пределы
Первый замечательный предел
sin
lim 1.
x
→
=
Второй замечательный предел
Часто используются следующие формулы, являющиеся
следствиями замечательных пределов:
,
50
( )
1/
0
lim 1
x
x
xe
→
+=
,
( )
( )
0
log 1
1
lim , 0, 1
ln
a
x
x
aa
xa
→
+
= >≠
( )
0
1
lim ln , 0, 1
x
x
a
aa a
x
→
−
= >≠
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
0
x
x
x
0
sh
lim 1,
x
x
x
→
=
ch 1 1
x
x
−
0
th
lim 1,
x
x
x
→
=
11
a
x
( )
a
a
e
x
( )
fx
0
xx→
( )
0
lim 0
xx
fx
→
=
( )
fx
0
xx→
( )
0
lim
xx
fx→= ∞
,
Некоторые пределы
,
1
e
−
lim 1
→
=
,
.
lim ,
0
x
→
x
+−
( )
lim ,
0
x
→
x
lim 0,
x
x
→+∞
=
=
lim 1.
xx→+
2
lim ln 0 0 ,
a
x
→+
=
0
=
2
xx a
0
= >
5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Сравнение бесконечно малых функций
Функция
называется бесконечно малой функ-
цией (или бесконечно малой) при
.
Функция
называется бесконечно большой
функцией (или бесконечно большой) при
.
, если
, если