Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
21
Произведение вектора
a
λ
(,,)
xyz
a aaaλ=λ λ λ
r
23
r
,,αβγ
r
2 22
α=β=γ
2
1
cos3α=
3
1
23 2
3
xyz
rrr=== ⋅=
(2, 2,2)r =
a
b
cos( , )ab ab
∧
ab
ab ba⋅=⋅
()a b c ab ac⋅ + =⋅+⋅
() ( )a b abλ⋅=λ ⋅
0ab⋅=
ab≠≠
есть вектор
Пример: Вектор
ные острые углы,
вектора
.
составляет с осями координат рав-
r =
Решение. Пусть
ляет вектор
с осями координат. Тогда
cos cos cos 1α+ β+ γ=
и
cos
α=
на действительное число
.
. Определить координаты
– углы, которые состав-
и, так как
1
(ввиду того, что углы острые).
,
Имеем
2.3. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное
через
.
⋅
Свойства скалярного произведения
1)
2)
3)
4)
,
,
,
для ортогональных векторов, 0, 0
и
.
и
. Обозначается
,
22
5)
cos( , )
ab
ab
ab
∧
⋅
=
b
ab
np a
b
⋅
=
2
aa a⋅=
F
S
A FS= ⋅
a
b
(,,)
xyz
a aaa=
(,,)
xyz
b bbb=
,
ij
ab
222222
x y zx yz
aaabbb
∧
(1, 1, 2)A −; (0,3, 2)B −
(1, 2, 0)C
AB
AC
( )
, , (1, 4, 4)
B AB AB A
BA x x y y z z=− − −=−
( 1, 4, 4)AB =−−
(1, 1, 2)BC = −
(0,3, 2)AC = −
∧
, 6)
,
7)
Работа силы
точки вдоль вектора
.
по перемещению материальной
вычисляется по формуле
.
Если
ab ab ab ab⋅= + +
и
заданы в координатной форме
,
xx yy zz
, где
, то
– координаты в
прямоугольном декартовом базисе.
cos( , )
ab
ab ab ab
=
xx yy zz
++
++ ++
Пример: Даны вершины треугольника ABC:
екцию
;
на
. Найти угол при вершине B и про-
.
Решение.
BA BC
cos( , )
,
BA BC
⋅ ++
= = =
BA BC
⋅
,
148
1 16 16 1 1 4
+ + ++
.
,
.
23
13 13
33 6 198
= =
.
198
0 12 8 20
9 4 13
AC
AB AC
np AB
AC
⋅ ++
= = =
+
(3, 2, 5)F = −−
(2, 3,5)A −
(3,2,1)B −−
(1,1, 6)S AB= = −
123
,,ee e
1
e
2
e
3
e
a
b
ab
[,]
c
ca⊥
cb⊥
∧
abc
угол ( , ) arccos
BA BC =
13
.
.
Пример: Вычислить работу силы
перемещению точки вдоль прямой из точки
в точку
Решение.
.
,
3 1 ( 2) 1 ( 5) ( 6) 31A FS= ⋅ = ⋅+− ⋅+− ⋅− =
.
2.4. Векторное произведение векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
называется правой, если кратчайший поворот
от
к
относительно наблюдателя, находящегося в
конце
, происходит против часовой стрелки.
Векторным произведением векторов
значение
или
×
) называется вектор
ab
что:
1)
,
, 2)
=
sin( , )c ab ab
и
по
(обо-
, такой,
3)
образуют правую тройку.
,,
24
Свойства векторного произведения
ab ba× =−×
()ab abλ× =λ ×
()ab c acbc+ ×= ×+×
0 ( 0, 0)a b ab a b×=⇔ ≠ ≠
a
b
2
(,,)
xyz
a aaa=
(,,)
xyz
xyz
xyz
i jk
bbb
F
r
F
M rF= ×
(1, 1, 2)A −
(5, 6, 2)B −, (1, 3, 1)C −
1
2
(0, 4, 3)AC = −
1)
2)
3)
4)
.
Площадь треугольника, построенного на векторах
1
и
равна
S ab= ×
.
В случае координатного задания векторов
Если
,
b bbb=
ab a a a
×=
вектор силы, а
имеем
.
– радиус-вектор точки
приложения силы, имеющий свое начало в точке A, то
момент силы
формуле
относительно точки A вычисляется по
.
Пример: Найти площадь треугольника ABC,
.
Решение.
S AB AC= ×
ABC
.
,
(4, 5,0)AB = −
,
,
25
11
4 5 0 15 12 16
22
04 3
ABC
ijk
S i jk= − = ++ =
−
1
225 144 256
2
= ++ =
1 25
22
abc
ab
c
()
=×⋅
abc bca cab acb bac cba== = =−=−=−
λ=λ
12 1 2
+=+
0abc
abc
abc
0abc <
0abc >
(,,)
xyz
a aaa=
(,,)
xyz
(,,)
xyz
c ccc=
625
.
=
2.5. Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов
му произведению вектора
чается
abc a b c
называется число, равное скалярно-
,,
на вектор
×
.
Свойства смешанного произведения
1)
2)
() ( )a bc abc
и обозна-
3)
()a a bc a bc a bc
4)
для компланарных векторов
=
Модуль смешанного произведения
равен объему параллелепипеда, построенного на векто-
,,
.
рах
, если тройка векторов левая и
правой тройки.
Если векторы заданы координатами в прямоугольном декартовом базисе:
,
b bbb=
,
численно
для
,
26
то их смешанное произведение вычисляется по фор-
xyz
xyz
xyz
aaa
abc b b b
ccc
=
1
(2, 3,1)A −
2
( 1, 4, 2)A −−
3
(4, 1, 2)A −
4
(3, 4, 2)A −
12 13 14
,,AA AA AA
12
( 3, 1,1)AA =−−
13
(2, 2,1)AA =
14
(1, 1,1)AA = −
6
11
66
0Ax By C+ +=
22
0AB+≠
муле
.
Пример: Даны вершины пирамиды
,
,
ем пирамиды.
Решение. Находим смешанное произведение векторов
. Имеем
,
Объем пирамиды есть
педа, построенного на этих векторах:
3 11
−−
V
2 2 1 12 2
= = ⋅− =
1 11
−
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.1. Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой (L) в декартовой системе
координат:
. Вычислить объ-
.
1
от объема параллелепи-
.
,
.
,
,
27
Частные случаи общего уравнения:
0Ax By+=
0By C+=
0Ax C+=
0By =
0Ax =
y kx b= +
k tg= α
000
(, )Mxy
00
()y y kx x−= −
000
(, )Mxy
111
(, )Mxy
00
10 10
xx yy
−−
−−
10
xx=
0
xx=
10
yy=
0
yy=
1
xy
ab
+=
0, 0ab≠≠
,ab
(С = 0)
(L) проходит через начало
координат.
(A = 0)
(B = 0)
(A = C = 0)
(B = C = 0)
(L) параллельна оси OX.
(L) параллельна оси Oy.
(L) совпадает с осью Ox.
(L) совпадает с осью Oy.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
, где
– угловой коэффициент, α –
угол между прямой и положительным направлением
оси Ox, отсчитываемый против часовой стрелки от
оси Ox.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k,
проходящей через т.
:
.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
и
Если
Если
, то (L)
, то (L)
:
=
xx yy
.
.
Уравнение прямой в отрезках
,
– отрезки, отсекаемые прямой на
осях координат, с учетом знака, (отсчитывают от начала координат).
.
,
28
Расстояние от точки
000
(, )Mxy
00
22
Ax By C
d
AB
++
=
+
(,)N AB=
000
(, )Mxy
00
( ) ( )0Ax x By y−+ − =
(,)a mn=
000
(, )Mxy
00
xx yy
mn
−−
1
()L
2
()L
12
,kk
12
,NN
12
,aa
11
22
AB
AB
12
kk=
11
22
nm
nm
=
1
()L
2
()L
12
,kk
12
NN
12
,aa
12 12
0AA BB+=
1
2
1
kk= −
1 2 12
0mm nn+=
до прямой (L):
.
Нормальный вектор прямой (L) – вектор, перпен-
дикулярный прямой в любой точке.
Направляющий вектор прямой (L) – вектор, лежа-
щий на прямой или на параллельной ей прямой.
Уравнение прямой с нормальным вектором
, проходящей через точку
.
Уравнение прямой с направляющим вектором
, проходящей через точку
= .
:
:
Условие параллельности прямых
ловыми коэффициентами
рами
и направляющими векторами
ветственно:
Условие перпендикулярности прямых
с угловыми коэффициентами
торами
,
и
, нормальными векто-
;
=
;
.
, нормальными век-
и направляющими векторами
;
;
.
с уг-
соот-
и
:
29
Угол между пересекающимися прямыми:
21
12
tg
1
kk
kk
−
ϕ=
+
12
⋅⋅
0
(2, 1)M −
1
L
1
L
25
33
yx=−+
3
1
13
=−=
33
22
yxx
3 2 80xy− −=
1
1
0NN⋅=
3( 2) 2( 1) 0xy−− +=
3 2 80xy− −=
0Ax By Cz D+ + +=
NN aa
или
cos
1 2 12
ϕ= =
NN
12
aa
.
Пример: Составить уравнение прямой (L), проходящей
через т.
перпендикулярно прямой (
):
2x+3y–5=0.
Решение. 1) С помощью угловых коэффициентов:
2
(
):
. Следовательно,
k = −
1
. Тогда
k
и (L):
2
k
1 ( 2) 3
+= − = −
.
2) С помощью нормального вектора.
. Следовательно,
(3, 2)N = −
,
3.2. Плоскость в декартовой системе координат
Общее уравнение плоскости (P) в декартовой си-
стеме координат:
Частные случаи общего уравнения (P):
D = 0: (P) проходит через начало координат.
А = 0: (P) параллельна OX.
B = 0: (P) параллельна OY.
С = 0: (P) параллельна OZ.
. Тогда (L):
.
.
,
.
(2,3)N =
30
A = D = 0: OX лежит в (P).
(,, )
0000
(, ,)Mxyz
(,, )
0 00
( ) ( ) ( )0Ax x By y Cz z−+ −+ −=
0
0NMM⋅=
(, ,)M xyz
0000
(, ,)Mxyz
1111
(, ,)Mxyz
2222
(, ,)M xyz
0 00
10 1 0 10
20 2020
0
xx yy zz
xx yy zz
xxyyzz
−−−
− − −=
−−−
0 0 02
1
0MMMMMM =
B = D = 0: OY лежит в (P).
C = D = 0: OZ лежит в (P).
B = A = 0: (P) параллельна XOY.
A = C = 0: (P) параллельна XOZ.
B = C = 0: (P) параллельна YOZ.
A = B = D = 0: (P) совпадает с XOY.
A = C = D = 0: (P) совпадает с XOZ.
B = C = D = 0: (P) совпадает с YOZ.
N ABC=
– нормальный вектор плоскости
(P) – вектор, перпендикулярный плоскости в каждой
точке (P).
Уравнение плоскости, проходящей через т.
, с нормальным вектором
N ABC=
или в векторной
записи
, где
– текущая точка
плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
,
,
:
:
или в векторной записи
.