Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
91
10.4. Несобственные интегралы
( )
fx
( ) ( )
lim
b
b
aa
f x dx f x dx
∞
→∞
=
∫∫
bb
a
∫∫
( ) ( ) ( )
lim lim
cb
ab
ac
f x dx f x dx f x dx
∞
→−∞ →∞
−∞
= +
∫ ∫∫
±∞
[
)
( )
fx
( )
gx
[ ]
( ) ( )
≤≤
xa∀≥
a
( )
a
f x dx
∞
∫
Если в определенном интеграле промежуток интегрирования не конечен или
классу интегрируемых функций, то приходим к несобственным интегралам.
Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования (1-го рода)
не принадлежит к
,
f x dx f x dx
( ) ( )
−∞
Если пределы существуют, то интегралы сходятся.
Если пределы не существуют или равны
гралы расходятся.
Критерии сходимости:
1. Если на промежутке
тельные функции
дом конечном отрезке
, то из сходимости интеграла
сходимость интеграла
определены две неотрица-
;a ∞
и
, интегрируемые на каж-
, причем
;ab
lim
=
a
→−∞
0 f x gx
∞
g x dx
( )
∫
, а из расходимости
,
.
, то инте-
следует
92
интеграла
( )
a
f x dx
∞
∫
a
[
)
( )
fx
( )
gx
[ ]
ab
( )
fx
( )
a
f x dx
∞
∫
[
)
( )
y fx=
( )
a
f x dx
∞
∫
( )
a
f x dx
∞
∫
∞
ла
g x dx
( )
∫
следует расходимость интегра
.
2. Если на промежутке
тельные функции
каждом конечном отрезке
ный предел
гралы
одновременно.
3. Если на промежутке
ет знак и несобственный интеграл
то сходится также и
lim 0
gx
x
→∞
( )
и
= >
∞
g x dx
( )
∫
a
определены две положи-
;a ∞
и
A
;a∞
, интегрируемые на
, и существует конеч-
;
, то несобственные инте-
сходятся или расходятся
функция
.
меня-
сходится,
93
4. Если
( )
fx
/cx
,0xc→ +∞ < < +∞
1α>
a
1α≤
[ ]
xb=
( ) ( )
0
lim
bb
aa
f x dx f x dx
−ε
ε→
=
∫∫
xa=
( ) ( )
0
lim
bb
aa
f x dx f x dx
ε→
+ε
=
∫∫
xc=
( )
( )
,c ab∈
( ) ( ) ( )
1
00
12
2
lim lim
c
bb
aac
f x dx f x dx f x dx
−ε
ε→ ε →
+ε
= +
∫∫ ∫
±∞
b
a
( )
fx
интеграл
ходится.
Несобственные интегралы от неограниченных
функций (2-го рода). Пусть функция терпит разрыв
второго рода на отрезке интегрирования
если функция терпит разрыв второго рода в точке
~
+∞
∫
α
при
f x dx
( )
сходится, при
, то при
. Тогда,
,ab
– рас-
, то
если функция терпит разрыв второго рода в точке
, то
если функция терпит разрыв второго рода в точке
,
Если пределы существуют, то интегралы сходятся.
Если пределы не существуют или равны
гралы расходятся.
Критерии сходимости:
1. Пусть в левой (правой) окрестности точки
ки
) определены две неотрицательные функции
,
,
.
, то инте-
(точ-
94
и
( )
gx
( ) ( )
0 f x gx≤≤
( )
b
a
g x dx
∫
( )
fx
( )
gx
[
)
;ab
( )
fx
( )
gx
( )
fx
( )
b
a
f x dx
∫
( )
b
a
g x dx
∫
( )
fx
0xb→−
1α<
a
1α≥
, причем
. Тогда из сходимости
интеграла
b
f x dx
∫
a
дует расходимость интеграла
2. Пусть положительные функции
делены на промежутке
нечного разрыва функций
существует конечный предел
несобственные интегралы
дятся или расходятся одновременно.
3. Если
дится.
, а из расходимости интеграла
( )
интеграл
следует сходимость интеграла
~
/cbx
( )
b
f x dx
( )
∫
b
∫
a
, точка b – точка беско-
α
при
−
сходится, при
b
f x dx
( )
∫
a
g x dx
.
( )
и
и
lim 0
xb
→−
. Тогда, если
= >
gx
0
( )
и
сле-
опре-
, то
A
схо-
, то при
– расхо-
95
Замечание. Подобные критерии имеют место, если
xa=
( )
0fx≥
[ ]
,x ab∀∈
( )
y fx=
xa=
xb=
[ ]
ab
( )
bb
aa
S f x dx ydx= =
∫∫
( )
fx
[ ]
x ab
( )
bb
aa
S f x dx ydx=−=−
∫∫
a
b x
A
B
y
( )
y fx=
– точка бесконечного разрыва функции.
10.5. Геометрические и механические приложения
определенного интеграла
Вычисление площади плоской фигуры
а) Если
ограниченной кривой
, то площадь фигуры,
, прямыми
и
и осью абсцисс на отрезке
. Если
,
≤
, равна
0
∀∈
.
, то
,
96
а) Если фигура ограничена линиями
( )
xy= ϕ
0x =
yc=, yd=
( )
d
c
S y dy= ϕ
∫
( )
( )
y yt=
12
t tt≤≤
( ) ( )
2
1
'
t
t
S y t x t dt=
∫
( )
rr= ϕ
ϕ=α
ϕ=β
( )
α<β
( )
2
1
2
S rd
β
α
= ϕϕ
∫
y
d
c
( )
xy
x
C
D
,
,
, то
б) В случае параметрического задания линии
,
формуле
в) Площадь криволинейного сектора в полярной си-
стеме координат, ограниченного линиями
,
, площадь фигуры вычисляется по
вычисляется по формуле
.
= ϕ
x xt=
.
,
,
.
97
Вычисление длины дуги кривой
( )
y fx=
( )
fx
[ ]
( )
( )
2
1'
b
a
l f x dx= +
∫
( )
x xt=
( )
y yt=
12
t tt≤≤
( )
xt
( )
yt
22
1
''
t
( )
x xt=
( )
y yt=
( )
12
t tt≤≤
( )
xt
( )
yt
( )
zt
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
222
1
'''
t
t
l x t y t z t dt= ++
∫
Полярнаяось Ou
α
( )
rr= ϕ
0
β
ϕ=β
ϕ=α
а) Линия задана уравнением
рывна и дифференцируема на отрезке
кривой вычисляется по формуле
.
,
. Длина
,ab
непре-
б) В параметрическом случае задания кривой
,
ференцируемые функции, длина кривой вычисляется по
формуле
в) Для пространственной кривой, заданной параметрически: (
функции, длина кривой вычисляется по формуле
l x t y t dt= +
,
,
, где
2
( )
( )
∫
t
,
– непрерывные, дифференцируемые
,
( )
( )
,
z zt=
непрерывные, диф-
.
,
,
), где
.
98
г) В полярной системе координат (
( )
rr= ϕ
α≤ϕ≤β
( )
2
2
'l r rd
β
α
=+ϕ
∫
( )
Sx
[ ]
,ab
( )
b
a
V S x dx=
∫
( )
y fx=
Ox
[ ]
,ab
( )
( )
2
b
a
V f x dx= π
∫
( )
xy= ϕ
Oy
[ ]
,cd
( )
( )
2
d
c
V y dy=πϕ
∫
длина дуги кривой вычисляется по формуле
.
Вычисление объемов пространственных тел
а) Пусть задана площадь поперечного сечения тела непрерывной функцией
на отрезке
,
. Тогда
)
объем тела определяется формулой
б) Пусть тело образовано вращением линии
не имеющей разрывов второго рода, вокруг оси
на отрезке
мулой
в) Пусть тело образовано вращением линии
не имеющей разрывов второго рода, вокруг оси
отрезке
мулой
. Тогда объем тела определяется фор-
.
. Тогда объем тела определяется фор-
.
.
,
,
на
99
Вычисление площади поверхности вращения
( )
y fx=
[ ]
;x ab∈
Ox
( )
2
21
b
x
a
S y y dx
′
=π+
∫
( )
x xt=
( )
y yt=
12
t tt≤≤
( )
xt
( )
yt
22
t
′′
=π+
aABb
( )
[ ]
;x ab∈
xa=, xb=
a
b x
B
y
( )
y fx=
A
а) Дуга гладкой кривой
вокруг оси
сываемая данной кривой, вычисляется по формуле
. Площадь поверхности вращения, опи-
,
вращается
.
б) В параметрическом случае задания кривой (
,
дифференцируемые функции, площадь поверхности
вращения вычисляется по формуле
S y t x t y t dt
x
Вычисление моментов инерции центров масс
Пусть дана материальная криволинейная трапеция
, ограниченная графиком функции
, осью Oxи прямыми
), где
2
2
( ) ( )
∫
t
1
,
( )
– непрерывные,
( )
( )
.
0y fx= ≥
. По этой
,
,
100
трапеции непрерывно с плотностью
( )
,xyρ=ρ
3
1
2
b
x
a
I y dx= ρ
∫
2
1
2
b
y
a
I x ydx= ρ
∫
xy
III= +
y
C
M
xM=
x
C
M
yM=
b
a
M ydx= ρ
∫
2
1
2
b
x
a
M y dx= ρ
∫
1
2
b
y
a
M xydx= ρ
∫
распре-
делена масса.
Моменты инерции криволинейной трапеции определяются по формулам:
,
,
0
Центр тяжести криволинейной трапеции определяются
по формулам:
где
,
,
,
,
11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции одной независимой переменной не охваты-
вают все зависимости, существующие в природе. По-
этому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции
нескольких переменных.
Будем рассматривать функции двух переменных, так
как все важнейшие факты теории функций нескольких
переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего
числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
.
.