Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
161
( )
ln lny p x dx C=− +⇒
∫
( )
p x dx
y Ce
−
∫
=
. Пусть общее
C
( )
C Cx=
( )
( )
( )
−−
∫∫
y
.y
′
( )
( )
−−
∫∫
−+
( ) ( )
( )
( )
p x dx
pxCxe qx
−
∫
+=
( )
( ) ( )
( )
,
p x dx
C x qxe
∫
′
=
( )
∫
( )
( )
( )
∫∫
( ) ( )
′
+=
,.y uv y u v uv
′′ ′
= = +
y
.y
′
( ) ( )
( )
( )
( )
v
( )
( )
решение неоднородного линейного дифференциального уравнения имеет такой же вид, но
функцией
p x dx
−
y Cxe
=
и подставим в исходное неоднородное уравнение
Общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид
Метод Бернулли (метод замены переменной)
Представим неизвестную функцию как произведение
двух функций
ное уравнение
′′
u v uv p x uv q x
++ =
Потребуем, чтобы функция
жение
∫
( )
′′
= −
y C xe Cxe px
′
C xe Cxe px
( )
−
∫
′
C xe qx
( )
C x q x e dx C
y e q x e dx C
= +
′
v pxv
+
, подлежащей определению, т. е.
Найдем производную
.
p x dx p x dx
( )
p x dx p x dx
p x dx
=
= +
( ) ( )
p x dx p x dx
−
.y pxy qx
и
Получим
тождественно равнялось нулю.
( )
∫
или
( )
( )
,
p x dx
∫
( )
Подставим в исход-
′′
++ =
была такой, что выра-
считается
( )
( )
,
.
1
1
и
.
.uv uv pxv qx
162
Тогда исходное уравнение сводится к двум уравнениям
( )
0v pxv
′
+=
( )
.uv q x
′
=
( )
+=
v
( )
∫
( )
.
ve
=
( )
,uv q x
′
=
( )
( )
( )
( )
,
p x dx
u q x e dx C
∫
= +
∫
( )
( )
( )
( )
.
p x dx p x dx
y e q x e dx C
−
∫∫
= +
∫
( ) ( )
m
dy dy dx
dy dx C
C
( ) ( ) ( )
,.
x
′
с разделяющимися переменными:
Решим их последовательно.
′
1)
2)
Уравнение Бернулли
′
y pxy qxy m m
+ = ≠≠
Пример: 1) Метод Лагранжа.
Решаем однородное уравнение
dv
0,v pxv
∫∫
p x dx
−
∫
′
ue q x
′
3 , 1 3.xy y xy y
( ) ( )
p x dx
= −
( )
p x dx
−
∫
=
( )
+= =
2
,
,
du q x e dx
, 0, 1.
ln ,v p x dx= −
=
( )
∫
p x dx
и
,
′
+= =− =−
xy y x y
=−+ =− + =
∫∫
yx x
Для исходного уравнения варьируем
yy
0, , ,
dx y x
ln , ln ln ln , .
C y x Cy
Cx C xx Cx
= =
′
x
:
−
2
163
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
22
22
3 ,3 ,
C xx Cx Cx C x C x
x x Cx
xx
xx
′
−
′
+= =
( )
11
dC x
33
yC
=−=− =−
( )
1
1
3
,.
ln 1
Ce y
xx
−
= = −
−
( ) ( )
2
3 , 1 3.xy y xy y
′
+= =
,.y uv y u v uv
′′ ′
= = +
( )
22 22
333 ,33 .xu v xuv uv xu v xu v u xv v xu v
′′ ′ ′
+ + = + +=
0,xv v′+=
1
dv dx
=− =−=
22 2
2
11
3 ,3 ,xu v xu v xu xu
x
x
′′
= =
3,
1
du dx
xu
u
3
.
lnuCx
= −
33
, 3 , ln 1,
ln ln
yC
x Cx C
=−=− =−
,.
dx
3 ln , 3 ln .
∫∫
Тогда
2) Метод Бернулли.
а)
б)
3 ln , 3 ln ,
= + −=
∫∫
2
=+− =
2
Cx
( )
ln ln
x Cx C
11
∫∫
vx x
C Cx
Ce y
= = −
C Cx
x Cx
, 3 , ln 1,
, ln ln , .
v xv
1
−
xx
1
( )
′
u
3
ln 1
−
( )
1
=
2
u
x
164
17.1.7. Дифференциальные уравнения в полных
( ) ( )
, ,0
+=
( )
,,
( )
,,Pxy
( )
,Qxy
.
PQ
yx
∂∂
=
∂∂
( ) ( ) ( )
+=
( ) ( )
,0 , ,
=⇒=
,,
=+=
,,
= +=
( )
00
,xy
( ) ( )
yy
,,
x
( )
xx
дифференциалах
Определение. Если левая часть уравнения
P x y dx Q x y dy
является полным дифференциалом некоторой функции
uxy
ным уравнением в полных дифференциалах.
Это выполняется, если
производные непрерывны в односвязной области и
то это уравнение называется дифференциаль-
и их частные
Тогда
При этом
x
или
u P x y dx Q x y dy C
∫∫
xy
где
Примеры: 1)
∂ ∂ ∂∂
P Q PQ
=+ =+ ⇒=
1 cos , 1 cos .
∂ ∂ ∂∂
y x yx
u e y ydx Cy e xy x y Cy= ++ + = + + +
∫
, , ,,P x y dx Q x y dy du x y
du xy uxy C
x
u P x y dx Q x y dy C
00
принадлежат области определения P и Q.
( )
∫∫
xy
00
( )
0
xy
e y y dx e x x y dy++ + ++ =
sin sin .
y
( )
y
( )
sin cos 0.
( ) ( )
0
,
u
∂
Pxy
=
∂
( )
165
∂
=++= =++
( ) ( )
,,
yy
CyeCye
′
= =
1
xy
( )
( )
1 0.
y
x y dx e x dy+− + + =
PQ
yx
∂∂
∂∂
, , ,.
=+=
00
0.xy= =
( )
00
1,
y
x
y
x y dx e dy C+− + =
∫∫
2
0
0
,
2
x
x
y
x
yx x e C
+− + =
2
1,
2
2
.
2
y
x
yx x e C+ −+ =
,
PQ
yx
∂∂
≠
∂∂
( )
,xyµ=µ
.
PQ
yx
∂µ ∂µ
=
∂∂
( )
,xµ=µ
( )
//
.
PyQx
dx
Q
e
∂ ∂ −∂ ∂
∫
µ=
( )
,yµ=µ
( )
//
.
PyQx
dy
P
e
∂ ∂ −∂ ∂
−
∫
µ=
u
xx yCy Qxy xx ye
y
∂
cos , cos ,
′
( ) ( )
y
e xy x y e C++ + =
2)
x
u x y P x y dx Q x y dy C
( ) ( )
∫∫
xy
00
Положим
y
( )
x
sin .
= =
0
yx x e C+ −+ −=
Интегрирующий множитель Если
1) Если
то вводят интегрирующий множитель
такой, что
то
1, 1.
y
2) Если
то
166
Замечание. Случаи 1) и 2) реализуются, если подынте-
x
y
( ) ( )
cos sin sin cos 0.x y y y dy x y y y dx− ++ =
cos sin
1,
cos sin
PQ
yx
x yy y
Q x yy y
∂∂
−
∂∂
−
= =
−
( )
−++ =
( )
1
sin cos ,
x
P ex yy y= +
1
( )
1
cos sin cos
xx
Q
ex yy x e y
x
∂
= −+
∂
11
PQ
yx
∂∂
∂∂
∫
гральное выражение в 1) и 2) зависят только от
или только от
для 2).
для 1)
Пример:
∂ ∂ ∂∂
P Q PQ
= + − = ⇒≠
cos cos sin , cos .
x y yy y y
∂ ∂ ∂∂
y x yx
//
PyQx
∂ ∂ −∂ ∂
∫
e ee
µ= = =
Q
Умножим исходное уравнение на множитель
xx
cos sin sin cos 0.
e x y y y dy e x y y y dx
( ) ( )
∂
P
x
1
= +−
ex y yy y
cos cos sin ,
∂
( )
y
dx
dx
∫
x
Q ex yy y= −
cos sin
( )
x
.
x
.
eµ=
,
,
Значит, полученное уравнение, есть уравнение в пол-
ных дифференциалах. Тогда
∂
u
x
= −
ex yy y
cos sin ,
∂
u e x y y y dy C x= − +=
( )
y
x
cos sin
( ) ( )
.
=
167
( )
sin cos sin
x xx
xe y ye y e y C x= + −+
.
eyxeyeyyeyCx
x
( )
sin cos
x
ex yy y= +
( )
0, const.Cx C
′
= =
= + −=
( )
′ ′′
y
′′
( )
,, .y f xyy
′′ ′
=
.yx
′′
=
2
11
,
2
x
y xdx C C
′
= += +
∫
23
26
xx
( )
′′ ′
( )
12
,, ,
u
∂
x xx x
= + + − +=
∂
17.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
17.2.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка Определение. Уравнения вида
ваются дифференциальными уравнениями 2-го порядка.
Дифференциальное уравнение, разрешенное относи-
тельно второй производной
Пример:
Решение. Последовательно интегрируя, получим
sin sin cos sin
,
x xx
u xe y ye y e y C
sin cos sin .
,, , 0F xyy y
, имеет вид
′
( )
назы-
=
y CdxC CxC
= + +=+ +
∫
Лемма. Дифференциальное уравнение 2-го порядка
,,y f xyy
=
решений, определяемых формулой
содержащей две произвольные постоянные. Это мно-
жество решений называется общим решением.
1 2 12
обычно имеет бесчисленное множество
y xC C= ϕ
.
168
Частные решения дифференциального уравнения
00
00
,.
′′
,yx
′′
=
22
xx
yy
2
1
,
2
x
yC
′
= +
3
12
6
=++
12
22 .
3
CC
=++
12
4
1, .
3
CC= = −
3
63
yx
( )
00
,,
0
x
( )
( )
,,f xyy
′
ff
yy
∂∂
∂∂
( )
000
,, ,xyy
′
( )
′′ ′
определяются из начальных условий
Пример:
y yy y
= =
xx xx
= =
= =
′
= =
2, 3.
Решение. Это задача Коши для дифференциального
уравнения второго порядка. Последовательно интегрируя, получим
x
y Cx C
.
Используем начальные условия
32 ,
C
= +
1
4
x
= +−
4
.
Геометрический смысл начальных условий:
Помимо точки
xy
касательной к интегральной кривой в точке
задаем угловой коэффициент
числен-
но равный
′
yx
.
0
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
Если функция
и ее производные
непрерывны в окрестности значений
дифференциальное уравнение
,
′
то
в доста-
,,y f xyy
=
169
точно малом интервале
( )
00
,x hx h−+
( )
,y yx=
00
00
,.
xx xx
y yy y
= =
′′
= =
y
yy
x
′
11
xx
′
0
0,x =
0
0x =
12
12
,
xx xx
y yy y
= =
= =
,yx
′′
=
12
xx
yy
3
12
6
=++
63
12
6
CC=−=
3
66
yx=−+
ственное решение
удовлетворяющее задан-
ным начальным условиям
Из теоремы следует, что уравнение
имеет един-
′′
= +
при
заданных начальных условиях
yy
= = −
= =
имеет единственное решение. Если задать начальные
условия при
ответ не может, так как при
то теорема о существовании дать
правая часть урав-
нения имеет особенность.
Для дифференциального уравнения 2-го порядка ча-
сто задают граничные условия (краевые условия)
(сопромат (изгиб балки), мате-
матическая физика и т.д.). В этом случае может быть
одно решение, может решение не существовать и может быть бесконечное множество решений. Это коренное отличие задания граничных условий от задания
начальных условий.
Пример:
x
y Cx C
= =
14
,
7
, 1.
0, 0.
= =
CC CC++= + +=
12 12
0, 2 0.
7
x
2, 1
1.
170
17.2.2. Частные случаи дифференциальных уравнений
( )
,, .y f xyy
′′ ′
=
y
.y
′
( )
y fx
′′
( )
1
,y f x dx C
′
= +
∫
12
y
( )
,.y f xy
′′ ′
=
( )
′ ′′ ′
( )
,.
′
( )
,yz
′
=
( )
12
,.
=ϕ+
yx
x
′
+=
( )
′
zx
x
+=
2
23
12
39
x
=+=+ +
x
( )
,.y f yy
′′ ′
=
dy dz dy
( )
,.
y
zz f y z
′
=
( )
,,
,,
dx
xC
2-го порядка, допускающие понижение порядка
и
1) Правая часть не содержит
= ++
∫∫
2) Правая часть не содержит
Замена
Это дифференциальное уравнение 1-го порядка, решение которого
Пример:
= ⇒=
y x C dx C
y
′′
.y zx y z
. Тогда
,z xC= ϕ
1
∫
.
( )
явно.
z f xz
=
=
.
.y f x dx dx C x C
Решение. Введем новую переменную
z
′
его решение
Тогда
3) Правая часть не содержит
Замена
Это дифференциальное уравнение 1-го порядка.
– линейное дифференциальное уравнение;
C
x
1
zx= +
3
C
xx
′
y y C xC
dx dy dx
z yC= ϕ
1
= ⇒= =
zy y zz
( )
dy
1
.
, ln .
явно.
′′ ′
xx y
yC
= ϕ
( )
1
∫
dy
xC
ϕ
( )
,y zx
=
.
= +
,
1
.
2