Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
241
19.3. Интеграл Фурье
( )
fx
Ox
−∞
−∞ −∞
( )
1
2
izx izu
e dz f u e du
∞∞
−
−∞ −∞
=
π
∫∫
( ) ( )
00
2
cos cosf x zxdz f u zudu
∞∞
=
π
∫∫
−∞
−∞
Если функция
ле на любом конечном отрезке оси
интегрируема вдоль всей оси (
то для нее справедлива интегральная формула Фурье:
( ) ( ) ( )
Комплексная форма интеграла Фурье
f x dz f u e du
( ) ( )
Для четной функции интеграл Фурье
для нечетной:
Преобразование Фурье
F z e f x dx
( ) ( )
f z e F z dz
( ) ( )
1
=
π
2
1
=
π
2
удовлетворяет условиям Дирих-
∞
f x dx
( )
∫
∞∞
1
= −
∫∫
π
0
−∞
∞∞
1
= =
∫∫
π
2
∞∞
2
=
( ) ( )
π
∞
izx
∫
∞
izx
−
∫
cosf x dz f u z u x du
iz u x
−
( )
sin sinf x zxdz f u zudu
∫∫
00
(прямое),
(обратное).
и абсолютно
– сходится),
.
.
,
.
242
Косинус-преобразование Фурье
( )
( )
0
2
sin
c
F z f x zxdx
∞
=
π
∫
z
( )
,xy
( )
C
z x iy= +
z
y
(для четных функций)
∞
F z f x zxdx
( ) ( )
c
( ) ( )
Синус-преобразование Фурье
(для нечетных функций)
2
=
π
∞
2
=
∫
π
cos
∫
0
cosf z F z zxdz
(прямое),
(обратное).
∞
( ) ( )
20. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП)
20.1. Комплексные числа и операции над ними
Комплексным числом
тельных чисел
рядке:
обозначать
вида
называемая алгебраической формой записи комплексного числа
тельной,
2
=
π
,z xy=
. Одним из обозначений служит запись
. В этой записи x называется действи-
– мнимой частями комплексного числа z
sinf z F z zxdz
∫
, записанных в определенном по-
. Множество комплексных чисел будем
(прямое),
(обратное).
называется пара действи-
,
243
(для этого употребляется также запись
Rexz=
Imyz=
2
1i = −
( ) ( )
( )
cos arg sin argzz zi z= +
22
z xy= +
Arg arg 2 ,z zn= +π
( )
( )
arg z
arg z−π < ≤ π
y
zy
( )
arg 2izn
+π
12
,zz=
12
,xx=
12
yy=
( ) ( )
); i называется «мнимой единицей»:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
имеет вид:
.
,
.
Здесь величина
комплексного числа; аргумент комплексного числа
равенств
чение аргумента комплексного числа
в промежутке
Показательная форма записи комплексного числа
Арифметические действия над комплексными
числами:
Равенство комплексных чисел
Сложение
cos argxzz=
( )
arctg , 0,
= +π <
arg arctg sign , 0,
π
2
.
z z x x iy y+= + + +
12 12 12
,
x
y
x
sign , 0.
y если x
z ze
=
называется модулем
0, 1, 2,...n = ±±
sin argyzz=
( )
и вычисляется по формуле
если x
определяется из
. Главное зна-
>
если x
=
.
если
.
заключено
244
Вычитание
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
z xx yy yx xy
⋅+⋅ ⋅−⋅
++
2
0z ≠
( ) ( )
( )
1
1
12 12
22
cos sin
z
z
i
zz
= ϕ −ϕ + ϕ −ϕ
12 21
zz z z+=+
( )
( )
z z z zz z++=++
12 21
zz zz⋅=⋅
( )
( )
⋅⋅=⋅⋅
( )
123 1213
z z z zz zz⋅ + =⋅ +⋅
z x iy= −
z x iy= +
1212
,zz zz+=+
12 12
,zz zz⋅=⋅
( )
zz
2
,zz z⋅=
2
Умножение
z z x x iy y−= − + −
12 12 1 2
z z x x y y ix y y x⋅= ⋅−⋅ + ⋅+⋅
12 12 12 12 12
в тригонометрической форме:
12 12 12 12
cos sinzz z z i⋅ = ⋅ ϕ +ϕ + ϕ +ϕ
.
,
.
Деление
1 12 12 12 12
= +
z
2
22 22
xy xy
22 22
i
,
в тригонометрической форме:
.
Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются законам:
1.
2.
1 23 12 3
(коммутативность сложения);
(ассоциативность сложе-
ния);
3.
4.
z z z zz z
1 23 12 3
(коммутативность умножения);
(ассоциативность умноже-
ния);
5.
(дистрибутивность умно-
жения относительно сложения).
Определение. Комплексное число
ся сопряженным комплексному числу
называет-
.
Свойства операции сопряжения:
1)
3)
=
4)
,
2)
5)
z zz
⋅
1 12
=
z
2
2
z
.
,
245
Вычисление корня из комплексного числа:
arg 2 arg 2
cos sin
n
n
k
zk zk
w zz i
nn
+π +π
= = +
0,1,..., 1kn= −
22
z xy= +
z
k
w
n
n
Rz=
( )
( )
cos sin , Arg
n
n
z z nin z= ϕ+ ϕ ϕ=
D
z
( )
w fz
zDC∀∈ ⊂
wC∈
wuv= +
( ) ( ) ( )
,,w u xy ivxy f z=+=
x
( )
( )
( )
z
( )
w
,
. Здесь
0,0O
. Корни
.
:
. Тогда
и y:
,u u xy=
определена функция ком-
=
,
плексного числа
плексной плоскости в вершинах правильного
ника, вписанный в окружность радиуса
тром в точке
Возведение в степень. Формула Муавра
20.2. Элементарные функции комплексного
переменного
Определение. В области
плексного переменного
поставлено в соответствие одно (однозначная функция)
или несколько (многозначная функция) значений
. Пусть
Функция комплексного переменного не имеет графика:
она соответствует заданию двух действительных
функций переменных
Геометрический смысл ее состоит в осуществлении
отображения точек комплексной плоскости
ответствующие точки комплексной плоскости
– модуль ком-
расположены на ком-
-уголь с цен-
.
, если
.
.
,v vxy=
на со-
.
246
Показательная функция
z
e
0
n
n
∞
z <∞
sin z
cos z
21
0
n
n
+
∞
=
z <∞
( )
( )
2
0
cos 1
2!
n
n
n
z
z
n
∞
=
= −
∑
z <∞
=+=−
cos , sin
22
iz iz iz iz
ee ee
zz
i
−−
+−
= =
tg z
ctg z
sin
cos
z
cos
sin
z
sh z
cth z
21
0
n
n
+
=
2
0
2!
n
n
=
sh
th
ch
z
zz=
ch
cth
sh
z
zz=
cos ch ;iz z=
sin sh ;iz i z=
ch cos ;iz z=
sh sin ;iz i z=
z
e zz
ch sh ;
z
e zz
−
= −
z
e
=
∑
=
z
n
!
:
Тригонометрические функции
z
( )
n
n
2 1!
( )
+
z
sin 1
= −
∑
и
.
:
;
Справедливы формулы Эйлера:
iz iz
cos sin , cos sin ,
e ziz e ziz
−
Тригонометрические функции
tg
zz=
;
ctg
zz=
Гиперболические функции
∞
z
sh
z
=
∑
2 1!
( )
;
z
n
+
ch
;
Имеют место соотношения:
ch sh ;
= +
,…,
=
и
∞
∑
.
z
n
( )
.
.
:
:
;
.
247
Логарифмическая функция
Lnwz=
( )
( )
Ln ln arg 2 .z zi z k= + +π
=− +−
1
Arctg Ln ;
21
i iz
z
iz
+
= −
−
Arcctg Ln .
2
i zi
z
zi
−
=
+
21
z
−
11
Arcth Ln .
21
z
z
z
+
=
−
a
wz=
wa
Ln Ln
;
a az z za
ze ae= =
( , ).az комплексные числа−
( )
fz
zD∈
( ) ( )
0
lim
z
fz z fz
z
∆→
+∆ −
∆
( )
( )
fz
z
( )
fz
( )
df z
dz
Обратные тригонометрические функции:
Arcsin Ln 1 ;z i iz z
=− +−
2
:
0z≠
Arccos Ln 1 ;zi zz
2
Обратные гиперболические функции:
2
z
:
=
Arch Ln 1 ;z zz
= +−
и общая показа-
Arsh Ln 1 ;z zz
= ++
z
=
11
Arth Ln ;
z
+
Общая степенная функция
тельная функция
20.3. Дифференцирование ФКП.
Аналитические функции
Определение. Однозначная функция
дифференцируемой в точке
, если существует
называется
предел
,
z zD+∆ ∈
Этот предел называется производной функции
точке
. Обозначается
,
'
.
2
.
в
248
Теорема. Для того, чтобы функция
( ) ( ) ( )
,,f z uxy ivxy= +
z
( )
,u u xy=
( )
,v vxy=
u vu v
( )
fz
zD∈
z
( )
fz
D
( ) ( ) ( )
,,f z uxy ivxy= +
D; L
D
( )
LL L
f z dz udx vdy i vdx udy= −+ +
∫∫ ∫
была дифференцируемой в точке
статочно, чтобы функции
ли дифференцируемы в этой точке и выполнялись
условия Коши-Римана (д’Аламбера-Эйлера)
∂ ∂∂ ∂
= = −
∂ ∂∂ ∂
Определение. Функция
ской в данной точке
как в самой точке
Определение. Функция
ской в области
точке данной области.
Формулы дифференцирования ФКП аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций
действительной переменной.
20.4. Интегрирование ФКП.
Интегральные формулы Коши
Интеграл по кривой и его вычисление
Пусть однозначная функция
определена и непрерывна в области
гладкая кривая, лежащая в
грала сводится к вычислению (обычных) криволинейных интегралов второго рода
;
x yy x
, если она дифференцируема
, так и в некоторой ее окрестности.
, если она аналитическая в каждой
, необходимо и до-
и
.
называется аналитиче-
называется аналитиче-
– кусочно-
. Тогда вычисление инте-
бы-
249
Если контур L задан параметрическим уравнением
( )
z zt=
12
t tt≤≤
( ) ( )
( )
( )
2
1
'
t
Lt
f z dz f z t z t dt=
∫∫
( )
fz
D
L
1
,...,
k
γγ
D
1
...
k
L +γ + +γ
( )
1
0
k
m
m
L
f z dz
=
+γ
=
∑
∫
k
∫∫
( )
fz
D
0
zD∈
Dγ⊂
0
z
( )
π−
( )
z ∈γ
( )
fz
( )
( )
( )
( )
0
1
0
!
2
n
n
f z dz
n
fz
i
zz
+
γ
=
π
−
∫
,
, то
.
Теорема Коши. Если функция
многосвязной области
и внутренними контурами
ром
в замкнутой области
дится в положительном направлении)
Или в другой формулировке (все контуры обходятся в
одном направлении):
f z dz f z dz
L
Интегральные формулы Коши. Если функция
аналитическая в
вающий точку
При этом функция
любого порядка, для которых справедливы формулы
fz
( )
, то
0
, ограниченной внешним конту-
, то (контур
=
( ) ( )
,
=
∑
1
m
=
γ
m
и
f z dz
1
∫
2
i zz
γ
имеет всюду в D производные
аналитическая в
.
.
– контур, охваты-
,
0
и не-прерывна
обхо-
.
.
250
20.5. Ряды в комплексной области
1
nn
n
∞
( )
nnn
z x iy
1nn
∞
=
1nn
∞
=
1nn
∞
1nn
∞
=
1
0
n nn
n nn
n nn
∞ −∞
∑ ∑∑
n
=−∞
( )
0
n
n
n
cza
∞
=
−
∑
( )
fz
0 r za R≤<− <
, то в этом кольце она еди
Числовые ряды
Для сходимости ряда с комплексными членами
zz z z
12
... ...
+ ++ +=
∑
=
= +
необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда:
x
и
y
∑
z
Определение. Ряд
дящимся, если сходится ряд
называется абсолютно схо-
∑
=
∑
∑
.
z
.
Вопрос о сходимости рядов с комплексными члена-
ми решается с помощью известных признаков сходимости рядов в действительной области.
Ряды Лорана
Определение. Рядом Лорана называется ряд
с za c za c za
−= −+ −
( ) ( ) ( )
=−∞ =−∞ =
при этом ряд
1
−
cza
∑
( )
n
−
стью ряда Лорана, а ряд
n
называется главной ча-
– правильной
;
частью.
Теорема Лорана. Если функция
кольце
аналитическая в
н-